登陆注册
10407300000098

第98章 千古之谜

现代数论的创始人、法国大数学家费尔马(1601-1665),对不定方程极感兴趣,他在丢番图的《算术》这本书上写了不少注记。在第二卷问题8“给出一个平方数,把它表示为两个平方数的和”的那一页的空白处,他写道:“另一方面,一个立方不可能写成两个立方的和,一个四方不可能写成两个四方的和。一般地,每个大于2的幂不可能写成两个同次幂的和。”

换句话说,在n>2时,

xn yn=zn(1)

没有正整数。这就是举世闻名的费尔马大定理。

“关于这个命题”,费尔马说:“我有一个奇妙的证明,但这里的空白太小了,写不下。”

人们始终未能找到费尔马的“证明”。很多数学家攻克这座城堡,至今未能攻克。所以,费尔马大定理实际上是费尔马大猜测。人们在费尔马的书信与手稿中,只找到了关于方程:

x4 y4=z4(2)

无正整数解的证明,恐怕他真正证明的“大定理”也就是这n=4的特殊情况。

既然(2)无正整数解,那么方程

x4k y4k=z4k(3)

无解(如果(3)有解,即有正整数x0,y0,z0使

x04k y04k=z04k(3)

那么(x0k)4 (y0k)4=(z0k)4

这与(2)无解矛盾!

同理,我们只要证明对于奇素数P,不定方程

xp yp=zp(4)

无正整数解,那么费尔马大定理成立(因为每个整数n>2,或者被4整除,或者有一个奇素数p是它的因数)。

(4)的证明十分困难。在费尔马逝世以后90多年,欧拉迈出了第一步。他在1753年8月4日给哥德巴赫的信中宣称他证明了在p=3时,(4)无解。但他发现对p=3的证明与对n=4的证时截然不同。他认为一般的证明(即证明(4)对所有的素数p无正整数解)是十分遥远的。

一位化名勒布朗的女数学家索菲·吉尔曼(1776-1831)为解费尔马大定理迈出了第二步。她的定理是:

如果不定方程

x5 y5=z5

有解,那么5|xyz。

人们习惯把方程(4)的讨论分成两种情况。即:如果方程

xp yp=zp

无满足p|xyz的解,就说对于p,第一种情况的费尔马大定理成立。

如果方程

xp yp=zp

无满足p|xyz的解,就说对于p,第二种情况的费尔马大定理成立。

因此,吉尔曼证明了p=5,第一种情况的费尔马大定理成立。她还证明了:如果p与2p 1都是奇素数,那么第一种情况的费尔马大定理成立。她还进一步证明了对于≤100的奇素数p,第一种情况的费尔马大定理成立。

在欧拉解决p=3以后的90余年里,尽管许多数学家企图证明费尔马大定理,但成绩甚微。除吉尔曼的结果外,只解决了p=5与p=7的情况。

攻克p=5的荣誉由两位数学家分享,一位是刚满20岁、初出茅庐的狄利克雷,另一位是年逾70已享盛名的勒仕德。他们分别在1825年9月和11月完成了这个证明。

p=7是法国数学家拉梅在1839年证明的。

这样对每个奇素数p逐一进行处理,难度越来越大,而且不能对所有的p解决费尔马大定理。有没有一种方法可以对所有的p或者至少对一批p,证明费尔马大定理成立呢?德国数学家库麦尔创立了一种新方法,用新的深刻的观点来看费尔马大定理,给一般情况的解决带来了希望。

库麦尔利用理想理论,证明了对于p<100费尔马大定理成立。巴黎科学院为了表彰他的功绩,在1857年给他奖金3000法郎。

库麦尔发现伯努列数与费尔马大定理有重要联系,他引进了正规素数的概念:如果素数p不整除B2,B4……Bp-3的分母,p就称为正规素数,如果p整除B2,B4……Bp-3中某一个的分母就称为非正规素数。例如5是正规数,因为B2的分母是6而5×6.7也是正规素数,因为B2的分母是6,B4的分母是30,而7×6,7×30.

1850年,库麦尔证明了费尔马大定理对正规素数成立,这一下子证明了对一大批素数p,费尔马大定理成立。他发现在100以内只有37、59、67是非正规素数,在对这三个数进行特别处理后,他证明了对于p<100,费尔马大定理成立。

正规素数到底有多少?库麦尔猜测有无限个,但这一猜测一直未能证明。有趣的是,1953年,卡利茨证明了非正规素数的个数是无限的。

近年来,对费尔马大定理的研究取得了重大进展。1983年,西德的伐尔廷斯证明了“代数数域K上的(非退化的)曲线F(x,y)=0,在出格g>1时,至多有有限多个K点。”

作为它的特殊情况,有理数域Q上的曲线

xn yn-1=0(5)

在亏格g>1时,至多有有限多个有理点。

这里亏格g是一个几何量,对于曲线(5),g可用

g=(n-1)(n-2)2

来计算,由(6)可知在n>3时,(5)的亏格大于1,因而至多有有限多个有理点(x,y)满足(5)。

方程

xn yn=2n

可以化成

x2n y4n-1=0

改记x2,y2为(x,y),则(7)就变成(5)。因此由(5)只有有限多个有理数解x、y,立即得出(1)只有有限多个正整数解x、y、z,但这里把x、y、z与kx、ky、kz(k为正整数)算作同一组解。

因此,即使费尔马大定理对某个n不成立,方程(7)有正整数解,但解也至多有有限组。

1984年,艾德勒曼与希思布朗证明了第一种情况的费尔马大定理对无限多个p成立。他们的工作利用了福夫雷的一个重要结果:有无穷多个对素数p与q,满足q|p-1及q>p2/3个。而福夫雷的结果又建立在对克路斯特曼的一个新的估计上,后者引起了不少数论问题的突破。

现在还不能肯定费尔马大定理一定正确,尽管经过几个世纪的努力。瓦格斯塔夫在1977年证明了对于p<125000,大定理成立。最近,罗寒进一步证明了对于p<4100万,大定理成立。但是,费尔马大定理仍然是个猜测。如果谁能举出一个反例,大定理就被推翻了。不过反例是很难举的。

同类推荐
  • 昆虫记

    昆虫记

    本书的翻译既忠实于原著的特质和整体风貌,又适合于中国最年轻一代读者的普遍情趣、知识结构和接受能力。本书收入精选精译佳作十五篇,话题广泛,意味深长,是一份对儿童和青少年心灵心智十分有益的精神食粮。
  • 启迪青少年卓越人生的智慧故事

    启迪青少年卓越人生的智慧故事

    每一朵花,都是一个春天,盛开馥郁芬芳;每一粒沙,都是一个世界,搭建小小天堂;每一颗心,都是一盏灯光,把地球村点亮!借助图书为你的生活添一丝色彩。潜能是人人都有的、与生俱来的、尚未被开发的大脑智慧能力。潜能在一定程度上受遗传因素的控制,但只要开发得当,每个孩子都能表现出非凡的智慧和与众不同的能力。潜能开发必须从小做起,因为孩子的大脑具有非常强的可逆性。儿童期是脑的结构和功能发育的关键时期,在这一时期,宝宝的大脑活动程度是成人的两倍,宝宝不仅对世界充满好奇心,思维也最敏捷、最活跃,因而这个时期最适合对孩子的大脑潜能进行开发。
  • 高超推理的故事

    高超推理的故事

    探案故事是一种通俗文学体裁,主要描写刑事案件的调查和破案过程。我们编辑的这套《世界经典探案故事全集》包括《侦探出动的故事》、《高超推理的故事》、《蛛丝马迹的故事》、《扑朔迷离的故事》、《缉捕追踪的故事》、《原形毕露的故事》、《斗智斗勇的故事》、《智破奇案的故事》、《真相大白的故事》和《插翅难逃的故事》等19册,这些作品汇集了古今中外著名的疑案、迷案、奇案、悬案、冤案等近百篇,其故事情节惊险曲折,探案英雄大智大勇,阅读这些侦破故事,不仅可以启迪智慧、增强思思维、了解社会、增长知识,还可以学到自我保卫、推理破案的常识,防范日常生活的不测。
  • 特工小分队之树上的"骷髅"

    特工小分队之树上的"骷髅"

    全校学生都喜欢一本精彩的书,当麦斯和同学们在看书时,楼梯间传来尖叫声,一个女生晕倒在楼梯口。胆大的麦斯和同学根据书中的情节,在学校后面的树下请神,没想到却引来了“骷髅”,这个世界上难道真的有鬼?对手似乎对他们非常了解。乔枫不顾自己的安全,毅然出招引蛇出洞,原来一切另有隐情。
  • 世界儿童故事经典:影响你一生的100个战争故事

    世界儿童故事经典:影响你一生的100个战争故事

    古今中外丰富多彩的故事是世界各国社会和生活的结晶,是高度艺术化的精神产品,具有永久的闪光魅力,非常集中、非常形象,是中小学生了解世界和社会的窗口,是走向世界、观摩社会的最佳捷径。这些著名故事,伴随着世界各国一代又一代的青少年茁壮成长,具有广泛而深远的影响。我们青少年只要带着有趣的欣赏的心态阅读这些美丽的故事,便非常有利于培养积极的和健康向上的心理、性格、思维和修养,便有利于了解世界各国的社会和生活,并能不断提高语言表达和社会交往的才能。
热门推荐
  • 嗜血残阳

    嗜血残阳

    一队现代的特种部队战士穿越到1931年九一八事变之后,亲历了那个年代日军的残忍的罪行。也见证了先辈们用热血一寸一寸夺回的壮烈山河。祖国我爱你!真心缅怀抗战中的英雄们,你们的热血换来今天中国的强大。中国人民真正的站起来了。
  • 林中追鸟歌

    林中追鸟歌

    本丛书为俄罗斯众多著名作家的动物文学合集,文章生动有趣又不乏诗意,让人在阅读的同时,好似亲身处在朝气蓬勃的大自然里,而那些可爱、单纯的大自然的精灵,就在自己身边……本分册包括《树梢上的布谷鸟》《葛莉娅养鹦鹉》和《谁在冰下唱歌》等。
  • 唐立淇2013星座运程:摩羯座

    唐立淇2013星座运程:摩羯座

    2012年是摩羯“绝地大反攻”的一年,让大家看清楚你是谁。摩羯过去的客气、礼让,并不代表没想法也不是没意见,而是在等待机会,用行动、用成功来证明你们不容小看。2013年,你的守护星—土星从“重视名声、地位”的宫位,转移至“深入公众市场、扩大影响力”的位置。过去的你已经证明你并非浪得虚名,现在更想追求“名副其实”,所以土星要你修炼的是“影响力”。此刻你该为完成下一个课题做好准备。
  • 贼枭

    贼枭

    宅男夏青锋稀里糊涂重生在武道世界,还出身在富裕的贵族家庭,却没曾想老爹丢下他一个人出海,消失得无影无踪。这时候一个又一个觊觎夏家万贯家财的强敌跳了出来,昔日的亲朋好友一步一步的也要把他逼上绝路。就在夏青锋身于乱世不知该何去何从时,先祖油画中的半副铠甲,悄然改变了他的一条胳膊和整个武道人生。心存着一句“窃钩者诛,窃国者诸侯。”的乱世真理的夏青锋,行走在强敌林立的武道世界,他不确定自己的奋斗能得到什么?金钱?美色?还是权利?亦或者是......整个世界?
  • 佛说护身命经

    佛说护身命经

    本书为公版书,为不受著作权法限制的作家、艺术家及其它人士发布的作品,供广大读者阅读交流。
  • 皇妃要逃跑

    皇妃要逃跑

    我才不要嫁给那个皇帝!师兄,带我私奔吧。喝花酒、翻宫墙、勾搭王爷诱拐将军,只为逃出皇宫逍遥自在,可为什么这个"男人"总在眼前晃?"爱妃,虽然人家不喜欢女人,可你也不能给我戴绿帽子。只要你帮我重新做回男人,我就放你去私奔。"
  • 我的姐姐是幼女

    我的姐姐是幼女

    那一年,我的姐姐发了一场高烧,从此就停止了成长。原本是由父母照顾姐姐的他们因为不得而知的事情飞去了国外,而把这个照顾姐姐的重任交给了已经上了大学的我!无奈之下我只能脱离了住校而在外面租了一间房子,过上了同居的生活。但是由于姐姐自理能力很糟糕,所以我只能帮姐姐洗内裤,帮姐姐擦身,晚上陪着姐姐睡觉……我只能谎称她是我妹妹,而我却成为了大家眼中的萝莉控!!!
  • 无上魂灵

    无上魂灵

    黑道二哥不幸被杀,魂灵不灭,借物重生,打造属于魂灵的世界,新的物种即将产生,我若重出,必定称王。
  • 超时空无限被召唤

    超时空无限被召唤

    墨小凡做了一个梦,梦到自己契约了一份召唤系统的神秘物件,可以召唤小说,古代,动漫里的牛人到自己身边,帮助自己赚钱打架,送自己丹药功法....从此升职加薪当上总经理出任ceo迎娶白富美!一觉醒来,召唤系统是真的,可是自己却被召唤了!
  • 青蛇传

    青蛇传

    有人说我是吸书生脑髓的美女蛇,我嫣然一笑百花开:呃……实在过奖了,我这种好蛇顶多迷人魂魄罢了,怎会做那伤天害理之事。那些年桃花不断,只可惜我是个不懂情爱的冷血蛇妖,终是落花有意流水无情。千百年的懒蛇心动一回实在不易,只见你在翠竹下浅浅噙笑!