1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。
泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。
此外，此书还包括了他于数学上之其它创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。
1715年，他出版了另一名着《线性透视论》，更发表了再版的《线性透视原理》。他以极严密之形式展开其线性透视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用（没影点）概念，这对摄影测量制图学之发展有一定影响。
另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。
40.苏格兰数学家科林·麦克劳林
科林·麦克劳林是苏格兰数学家，1698年2月生于苏格兰的基尔莫登，1746年1月14日卒于爱丁堡。麦克劳林是18世纪英国最具有影响的数学家之一。
麦克劳林是一位牧师的儿子，半岁丧父，9岁丧母。由其叔父抚养成人。叔父也是一位牧师。麦克劳林是一个“神童”，为了当牧师，他11岁考入格拉斯哥大学学习神学，但入校不久却对数学发生了浓厚的兴趣，一年后转攻数学。
17岁取得了硕士学位并为自己关于重力作功的论文作了精彩的公开答辩；19岁担任阿伯丁大学的数学教授并主持该校马里歇尔学院数学第工作；两年后被选为英国皇家学会会员。
1719年，麦克劳林在访问伦敦时见到了牛顿，从此便成为牛顿的门生。1724年，由于牛顿的大力推荐，他继续获得教授席位。麦克劳林21岁时发表了第一本重要着作《构造几何》，在这本书中描述了作圆锥曲线的一些新的巧妙方法，精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质。
1742年撰写的《流数论》以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。此书之意是为牛顿流数法提供一个几何框架的，以答复贝克来大主教等人对牛顿的微积分学原理的攻击。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中着名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予证明。
他在代数学中的主要贡献是在《代数论》（1748，遗着）中，创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组。但书中记叙法不太好，后来由另一位数学家Cramer又重新发现了这个法则，所以现在称为Cramer法则。
麦克劳林也是一位实验科学家，设计了很多精巧的机械装置。他不但学术成就斐然，而且关于政治，1745年参加了爱丁堡保卫战。
麦克劳林终生不忘牛顿对他的栽培，并为继承、扞卫、发展牛顿的学说而奋斗。他曾打算写一本《关于伊萨克·牛顿爵士的发现说明》，但未能完成便去世了。死后在他的墓碑上刻有“曾蒙牛顿推荐”，以表达他对牛顿的感激之情。
41.算法学家伦哈特·欧拉
人类历史上，数学有三大着名人物，号称“历史上三大数学家”。
他们都可以用伟大来称呼。一是阿基米德，二是牛顿，第三位是高斯。
有人问，第四名是谁呢？他就是大数学家伦哈特·欧拉。
历史上有很多学者，比如说亚里士多德，我们称他是百科全书式的学者。比如说俄国的罗蒙诺索夫，我们也称他是百科全书式的学者。至于近代英国的罗素，更被人称为“大百科全书式的智者”。
欧拉不是大百科全书式的学者，但他拥有一个辉煌的名字，显示了他的专长是天才的和伟大的。
欧拉被称为“百科全书般的数学家”。
欧拉开创了数学史上的欧拉时代。他在当时所拥有的三、四十门数学分支里都有成果，而且都是里程碑式的突破和奠基。
欧拉是神童。如果世界上没有天才的话，最后一个被推翻的“天才”只能是他。也就是说，你必须承认他是，即使你不承认别人。
数学家们评价欧拉：“欧拉计算毫不费力，就像呼吸、吃饭、睡觉那样自然，对于他来说，数学计算就像鹰在风中保持平衡一样那么出于本能。”
数学是欧拉的本能。
欧拉在家人两次喊他吃饭的时间里就写出了一篇数学论文，就如同三国演义里的关羽“温酒斩华雄”一样，真是令人感到惊讶，同时被他的神奇所折服。
欧拉常常在和孩子们的游戏中，在和人的闲谈中完成高深的数学论文。
欧拉他双目失明以后，整个世界所有角落的数学公式全都在他的脑子里，他的头脑比别人的笔和计算工具都要准确和快捷许多倍。
欧拉那时年事已高，但能脱口而出自然数前100个质数的6次方是多少。他的心算也是神奇的，不仅仅是加减乘除，还有平方开方，一直到对数三角函数，就连高等数学中的微积分和收敛级数等等，无所不能。
有一次，欧拉的两名学生计算复杂的收敛级数，他们把前17项求和。结果两人算到第50位数字时相差一位，于是请教欧拉。双目失明的欧拉为了确定结果，用心算计算了整个过程，结果把错误找出来了。
欧拉是1707年4月15日出生的。他的出生地就是伯努利家族所在地，瑞士的第二大城市巴塞尔。
欧拉的父亲保罗·欧拉是一位基督教的教长，精通数学。他本来希望欧拉能够接任他的职位，学习神学，也做一名牧师。后来发现聪明的欧拉对数学十分感兴趣，而且具有数学天赋，于是便传授欧拉数学知识。
这样，父亲成为欧拉的第一位教师。欧拉进入数学启蒙的殿堂。
有一个故事至今还在流传。小时候，欧拉刚七岁那年，父亲让欧拉学习神学，进了巴塞尔的神学学校。一天，老师讲到：“天上的星星是上帝亲手一颗一颗地安上去的。”欧拉问老师，“天上这么多星星，到底有多少颗呢？”老师回答说不知道。欧拉问：“既然是上帝造的，上帝为什么也不知道星星的数目呢？”
从此，欧拉把注意力转向自然科学与数学。
1719年，父亲为了试探一下孩子究竟有多大的数学才能，给他出了一道题。当时，家里要重新修砌羊圈。老欧拉说：“孩子，家里用的修砌羊圈材料总共只有一定的长度，要用这些材料修成一个占地面积最大的羊圈，而且修成方形的，应该怎么办呢？”
欧拉当时年仅12岁，很快告诉父亲答案，是正方形羊圈面积最大。的确，在长度一定并且必须是方形的情况下，正方形的面积最大。
巴塞尔大学的一位数学教授得知了这个消息。这位教授就是赫赫有名的伯努利家族成员，第二代数学家约翰·伯努利。他是提出物理学上着名的伯努利方程的丹尼尔·伯努利之父。
约翰来到欧拉家里，双方互相介绍认识之后，约翰讲明来意，巴塞尔大学要破格招收欧拉。欧拉的父亲很是犹豫，他对约翰说：“尊敬的教授，感谢您的好意，可是我希望儿子成为一名神学家。”约翰说：“尊敬的教长，您的选择应该慎重，要考虑孩子的天赋和才华，您知道，这是很惊人的。”
终于，老欧拉同意儿子修习数学了。1720年，刚13岁的欧拉通过考试和测验，进入了着名的高等学府——巴塞尔大学。
欧拉年龄很小，但是在学校里的成绩突飞猛进，名列前茅。他博闻强记，思维能力极强。
约翰·伯努利教授拿出单独的时间来教他数学。欧拉结识了尼古拉·伯努利和丹尼尔·伯努利，他们成为很好的朋友，也正是在良师益友的影响下，欧拉顺利地从事着数学工作。
大学毕业，欧拉取得了硕士学位，成为巴塞尔大学最着名的硕士，因为他是有史以来取得硕士学位最年轻的人。
1726年，欧拉发表关于船桅的最佳位置的论文，荣获巴黎科学院的奖金。
伯努利家族后来去了俄国彼得堡科学院工作，欧拉也被邀请。欧拉在俄国成家立业。
1735年，28岁的欧拉由于勤奋工作，长期伏案，结果右眼失明了。因为他长期看书并观测太阳，导致视力极度退化。
1733~1741年，欧拉在彼得堡生活，他有很多事情要做。他担任了彼得堡科学院的数学领导人，要承担运河改造的方案，还要审核很多设计，还要制定度量标准，以及为气象观测、建筑部门做技术指导和测试。
就这样，在各种琐事中完成了一部又一部伟大的着作。欧拉是一位创作多产的数学家，他的很多研究成果至今人们还没有完全利用，大多具有很高的科学价值。他的着作堆在屋子里，几乎成了书山、纸山。
着名的“七桥问题”，凝聚着欧拉的研究心血。
哥尼斯堡，位于现在的加里宁格勒。在哥尼斯堡，有一条河名叫勒格尔河。
勒格尔河上修有七座桥，并且有两条支流，一为新河，一为旧河。三河在城中心汇合，在合流处是哥尼斯堡的商业中心哥尼斯岛。
问题是：一个人能否一次走遍所有的七座桥；每座桥只准通过一次，无论来回，最后仍然回到出发点呢？
欧拉把所有可能的走法全都列举出来，他先计算了一下，发现共有5040种走法。那么要是全都画出来，看一看有没有可能满足以上问题，太笨了。而且数目更多的河与桥怎么办？
显然，一一去数，不是办法。
于是欧拉把地图抽象为几何问题，他想到把岛和陆地看成四个点，把桥看成七条线。点与线的关系成为研究的焦点。
就像下面的图形：其实，画成什么样都行，不管是直线还是曲线，只要连接关系不变就可以。第二个图就是着名的“欧拉金蝉”。它像不像抽象了的带翼的蝉？
如此一来，问题就改变成；以上图形能不能从A、B、C、D四点中任意一点出发，绕过所有的线路，不重复，而最终回到这一点？
1736年，欧拉研究了这个问题后写出来他的成果：“几何学中，除了早在古代就已经仔细研究过一种几何，就是不关心量和量的测量，而关心的是位置。我们应该考虑一下仅仅研究各个部分相互位置的规则，不研究尺寸大小。这可以称为位量几何学。”
欧拉指出，如果从一点出发，引出来的线是奇数条，就称这个点叫奇点。比如图中的A点就是奇点。其实，上图A、B、C、D四点都是奇点。
如果从一点出发，引出来的线条是偶数条，我们就把这个点叫做偶点。如三角形的三个顶点，正方形的顶点。当然，如果把正方形的两条对角线也画出，就是奇点了。
点和线不管长度和形状，相连而成网络。
问题又可以进一步变成：网络怎样才能一笔画出。
欧拉通过研究，得出来结论：
若能一笔画出一个网络，必须察看网络中奇点偶点的个数。如果网络奇点的个数是2或者是0，那么就可以，如果是其他情况，那么都画不出来。
考察一下七桥网络，它的四个点全是奇点，也就是说，网格中的奇点个数是4，所以要想满足七桥问题，是没有这样的路线存在的。
欧拉的研究超出了传统欧氏几何的范围，奠定了“网络论”几何的基础，开辟了“拓扑学”之先河。
在欧拉的着作中，不同的数学领域都有他的定理，尤其是数学分析。人们惊讶地称他为“数学分析的化身”。
在复变函数中有欧拉函数；
在数论中有欧拉定理；
在变分名题中有欧拉方程；
在刚体力学中有欧拉角；
在拓扑学中有欧拉数；
在初等几何中有欧拉线；
在归纳法中有欧拉提出的2n表示的名题……
欧拉不愧是数学的丰碑。
欧拉一生勤奋，又有天才的能力，所以取得最辉煌的成就。如果一个人是天才，但不做出努力，最终如“伤仲永”；如果一个人勤奋，那就依才能而定。只有勤奋加天才，才能成为丰碑式的顶点人物。
欧拉主要在俄国、瑞士、德国之间奔走。他28岁右眼失明，1727~1741年在俄国担任学术领导人，但是俄国政府十分腐败，更不重视各种基础研究。于是1741年，欧拉接受了德国普鲁士国王腓特烈大帝的邀请，来到柏林科学院。
在柏林，欧拉担任科学院物理数学研究所的所长，还为皇宫子弟讲课。
在俄国，欧拉曾经运算过彗星轨道，只用了三天他就完成了一般数学家三个月的计算量。
在德国工作时，欧拉提出了“三十六名军官问题”。
传说是这样的：
腓特烈要求，从每支部队中选派出6个不同级别的军官各一名，共36名。这6个不同级别是上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉。
欧拉要求这36名军官排成六行六列的方阵，使每一行每一列都要有各部队、各级别的代表。军官们没有完成任务，没能设计出这样的方案。
欧拉花费数年时间研究这个问题，得出结论，这是排不出来的，他还进一步研究了一般性的情况，并提出一个猜想，认为22阶、10阶等形如4m+2阶数的方阵是不存在的。
后来，几位数学家推翻了这个猜想。但是人们命名为“欧拉方阵”的方阵研究，对数理统计起了重大作用。
欧拉与普鲁士国王腓特烈的相处不好。正在这时，俄皇叶卡杰琳娜二世盛情邀请。
1762年，欧拉返回彼得堡。在他59岁时，他的双眼全部失明了。这对一般人来说打击是沉重的。然而欧拉在黑暗中整整17年依然工作和研究。
欧拉性格乐观，开朗热情。他一生发表的成熟着作有860多篇论文，其中400多篇是双目失明后研究得出的。
