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第10章 数学教学的趣味题型推荐(5)

58.袜子和手套

一个抽屉里有十双白袜子、十双花袜子,另一个抽屉里有十副白手套、十副花手套。现在要从中选出一双同色的袜子和一副同色的手套。

问:如果你闭着眼晴拿,至少需要从每个抽屉里取几只袜子和几只手套才一定可以?

[答案:只要取出三只袜子就行,因为其中至少有两只是同一颜色的。

手套的取法要略为麻烦一些,因为手套不但有颜色问题,还有左右的问题。至少要取出21只手套才能配成符合题意要求的一副。少于这个数目,哪怕取出20只,还有可能20只全是同一面的。例如10只白手套,10只花手套,都是左手的。]

59.七位朋友

某人有七位朋友。第一位朋友每天晚上都去他家看他,第二位朋友每隔一个晚上到他家去,第三位朋友每隔两个晚上去他家串门,第四位朋友每隔三个晚上去他家做客。依此类推,直到第七位朋友每隔六个晚上在他家出现。

这七位朋友会时常在同一个晚上在主人家中碰面吗?

[答案:毫无疑问,这七位朋友经过若干天以后,有一个晚上在主人家里碰面。这一天追溯到第一位朋友开始访问的那个晚上,所经历的天数,一定能被2、3、4、5、6、7各数整除;换而言之,第一天与七个朋友碰面那一天,中间相隔的天数,应该是2、3、4、5、6、7各数的最小公倍数。不难求出这个数为420。每隔420天这七位朋友就将在主人家里碰面一次。]

60.古代名题求答案

孙膑,庞涓都是鬼谷子的徒弟;一天鬼谷子出了这道题目:他从2到99中选出两个不同的整数,把积告诉孙,把和告诉庞;

庞说:我虽然不能确定这两个数是什么,但是我肯定你也不知道这两个数是什么。

孙说:我本来的确不知道,但是听你这么一说,我现在能够确定这两个数字了。

庞说:既然你这么说,我现在也知道这两个数字是什么了。

问这两个数字是什么?为什么?

[答案:假设数为X,Y;和为X+Y=A,积为X·Y=B。

根据庞第一次所说的:“我肯定你也不知道这两个数是什么”。由此知道,X+Y不是两个素数之和。那么A的可能值为11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,95,97……

我们再计算一下B的可能值:

和是11能得到的积:18,24,28,30

和是17能得到的积:30,42,52,60,66,70,72

和是23能得到的积:42,60……

和是27能得到的积:50,72……

和是29能得到的积:……

和是35能得到的积:66……

和是37能得到的积:70……

我们可以得出可能的B为,当然了,有些数(30=5·6=2·15)出现不止一次。

这时候,孙依据自己的数比较计算后,“我现在能够确定这两个数字了。”

我们依据这句话,和我们算出来的B的集合,我们又可以把计算出来的B的集合删除一些重复数。

和是11能得到的积:18,24,28

和是17能得到的积:52

和是23能得到的积:42,76……

和是27能得到的积:50,92……

和是29能得到的积:54,78……

和是35能得到的积:96,124……

和是37能得到的积:

因为庞说:“既然你这么说,我现在也知道这两个数字是什么了。”那么由和得出的积也必须是唯一的,由上面知道只有一行是剩下一个数的,那就是和17积52。

那么X和Y分别是4和13。]

61.100个金币的分配问题

100个金币5个人分,每人提出1种分配方案,按顺序,条件是只要有一半或半数以上的人不同意这个分配方案,则提出分配方案的人就要被杀头,如何分配才能不死?分配的结果如何?

[答案:1、按照提方案的顺序,分别设5个人为a、b、c、d、e

2、假设a和b都死了,只剩c、d、e;这种情况下,无论如何c和d一块也拿不到,甚至自己的生命都被操纵在e手里。

3、所以、b肯定没有死。

4、再来讨论a死了,只剩b、c、d、e的情况:因为b如果死了,c、d的生命就被e操纵,所以即使b一块也不给c、d,他们也非同意不可。所以如果a死了,结果就是100,0,0,0。

5、所以,a只要知道自己死后的情况,就可以提出97,0,1,1,1的方案。]

62.男孩女孩

有一个大家庭,父母共养有A,B,C,D,E,F,G七个子女,这七个孩子的情况是这样的:

1.A有三个妹妹,

2.B有一个哥哥,

3.C是老三,她有两个妹妹,

4.D有两个弟弟,

5.E管前面两个叫姐姐,

6.F有个弟弟。

从以上的情况,呢知道这七个孩子中哪几个是女孩,哪几个是男孩?

[答案:从大到小:

1、A 男

2、B 男

3、C 女

4、D 女

5、E 女

6、F 男

7、G 男]

63.嘉利与珍妮

“我的卧室里有一条蛇!”

“快来呀,厨房着火了!”

“茜茜,你的孩子撞上汽车了,快去市中心医院!”

切莫惊慌,这一切也许都不是真的。事实上,如果这一天正好是4月1日,而你又住在英国,那么,几乎可以肯定它们都不是真的。因为在“愚人节”这一天,他们会跟你开玩笑,捉弄你呢!

这种风俗起源于1545年的一次不幸事件。一位叫卢夫·利尔波的挪威科学家,当时住在英国,正试图揭开飞行的奥秘。

这位科学家的行为有点古怪,但是,他毫无疑问是个聪明人。看来他的飞行试验是成功的,因为国王亨利八世收到了利尔波先生的一封信。在信中,利尔波先生声称,他已经揭开了飞行的秘密,并恭请国王在4月1日驾临威斯敏斯特寺观看他所作的飞行表演。

于是,4月1日这一天,国王和政界的要员们,都站在威斯敏斯特寺外的广场上,等待着利尔波先生从空中飞过。然而,他们什么也没有看到。利尔波倒不是存心开玩笑,他信上说的实际上是实话。他已经掌握了飞行的诀窍,他没有在威斯敏斯特寺露面的原因,是他的飞行器出了故障,撞在一棵树上,而他本人也不幸遇难了。这是科技史上的一个悲剧。

从那以后,英国就形成了一种风俗,把4月1日定为“愚人节”。在这一天,人们常常用说假话的方式互相戏弄。

四百多年来,这种古老的风俗始终相延不衰,以至于在押的囚犯也被允许玩“愚人节”的把戏。

关押在“丛林”监狱里的囚犯,罪行大都比较轻微。嘉利与珍妮姐妹俩,一个因为偷窃超级市场的货物而被捕,一个则因为吸毒而被拘留,两人凑巧关在同一间牢房里。在愚人节这一天,姐妹俩约定:姐姐嘉利在上午说真话,下午说假话;妹妹珍妮在上午说假话,下午说真话。

嘉利与珍妮姐妹俩外貌酷似,只是高矮略有差别,简直分不清谁是姐姐,谁是妹妹。所以,当监狱的看守进牢房提审嘉利时,他也弄糊涂了。但是他知道在这一天姐妹俩的约定。

他问道:“你们俩哪个是嘉利?”“是我!”稍高的一个回答说。“是我!”稍矮的的一个也这样回答。看守更加糊涂了。考虑了一会以后,他提出了一个问题:“现在是几点钟呢?”稍高的一个回答说:“快到正午12点了。”稍矮的一个回答说:“12点已经过了。”根据两人的答话,聪明的看守马上就推断出了哪个是嘉利。

请问:看守到牢房去是在上午,还是在下午?个子稍高的那个是嘉利,还是珍妮?

[答案:当时上午,个子稍高的是姐姐嘉利。

我们可以用假设法来解此题。

设:当时是下午。

如果当时是下午,那么嘉利是说假话的,珍妮是说真话的,因此当看守问“你们当中哪个是嘉利”时,无论稍高的还是稍矮的都会说“不是我”,而她们俩却都说“是我”。可见当时不是下午,而是上午。

既然当时是上午,那么“快到中午了”这句答话是真话,也即稍高的一个是说了真话;“而上午已经过去了”则是一句假话,也即稍矮的一个说的是假话。由于已知在上午说真话的是嘉利,说假话的是珍妮,所以稍高的一个是嘉利,稍矮的一个是珍妮。]

64.12个乒乓球的难题

有12个乒乓球,其中有一个不合规格,但不知是轻是重。要求用天平称三次,把这个坏球找出来。

[答案:这是一个比较难的逻辑推理题。这个题目难就难在不知道不合格的坏球究竟是比合格的好球轻,还是重。要解出这个题目,不仅要熟练地运用各种推理形式,而且还要有一定的机灵劲呢。

用无码天平称乒乓球的重量,每称一次会有几种结果?有三种不同的结果,即左边的重量重于、轻于或者等于右边的重量,为了做到称三次就能把这个不合格的乒乓球找出来,必须把球分成三组(各为四只球)。现在,我们为了解题的方便,把这三组乒乓球分别编号为A组、B组、C组。

首先,选任意的两组球放在天平上称。例如,我们把A、B两组放在天平上称。这就会出现两种情况:

第一种情况,天平两边平衡。那么,不合格的坏球必在c组之中。

其次,从c组中任意取出两个球(例如C1、C2)来,分别放在左右两个盘上,称第二次。这时,又可能出现两种情况:

1.天平两边平衡。这样,坏球必在C3、C4中。这是因为,在12个乒乓球中,只有一个是不合格的坏球。只有C1、C2中有一个是坏球时,天平两边才不平衡。既然天平两边平衡了,可见,C1、C2都是合格的好球。

称第三次的时候,可以从C3、C4中任意取出一个球(例如C3),同另一个合格的好球(例如C1)分别放在天平的两边,就可以推出结果。这时候可能有两种结果:如果天平两边平衡,那么,坏球必是C4;如果天平两边不平衡,那么,坏球必是C3。

2.天平两边不平衡。这样,坏球必在C1、C2中。这是因为,只有C1、C2中有一个是坏球时,天平两边才不能平衡。这是称第二次。

称第三次的时候,可以从C1、C2中任意取出一个球(例如C1),同另外一个合格的好球(例如C3),分别放在天平的两边,就可以推出结果。道理同上。

以上是第一次称之后出现第一种情况的分析。

第二种情况,第一次称过后天平两边不平衡。这说明,c组肯定都是合格的好球,而不合格的坏球必在A组或B组之中。

我们假设:A组(有A1、A2、A3、A4四球)重,B组(有B1、B2、B3、B4四球)轻。这时候,需要将重盘中的A1取出放在一旁,将A2、A3取出放在轻盘中,A4仍留在重盘中。同时,再将轻盘中的B1、B4取出放在一旁,将B2取出放在重盘中,B3仍留在轻盘中,另取一个标准球C1也放在重盘中。经过这样的交换之后,每盘中各有三个球:原来的重盘中,现在放的是A4、B2、C1,原来的轻盘中,现在放的是A2、A3、B3。

这时,可以称第二次了。这次称后可能出现的是三种情况:

1.天平两边平衡。这说明A4B2C1=A2A3B3,亦即说明,这六只是好球,这样,坏球必在盘外的A1或B1或B4之中。已知A盘重于B盘。所以,A1或是好球,或是重于好球;而B1、B4或是好球,或是轻于好球。

这时候,可以把B1、B4各放在天平的一端,称第三次。这时也可能出现三种情况:(一)如果天平两边平衡,可推知A1是不合格的坏球,这是因为12只球只有一只坏球,既然B1和B4重量相同,可见这两只球是好球,而A1为坏球;(二)B1比B4轻,则B1是坏球;(三)B4比B1轻,则B4是坏球,这是因为B1和B4或是好球,或是轻于好球,所以第三次称实则是在两个轻球中比一比哪一个更轻,更轻的必是坏球。

2.放着A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放A2、A3、B3的盘子(原来放B组)重。在这种情况下,则坏球必在未经交换的A4或B3之中。这是因为已交换的B2、A2、A3个球并未影响轻重,可见这三只球都是好球。

以上说明A4或B3这其中有一个是坏球。这时候,只需要取A4或B3同标准球C1比较就行了。例如,取A4放在天平的一端,取C1放在天平的另一端。这时称第三次。如果天平两边平衡,那么B3是坏球;如果天平不平,那么A4就是坏球(这时A4重于C1)。

3.放A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放在A2、A3、B3的盘子(原来放B组)轻。在这种情况下,坏球必在刚才交换过的A2、A3、B2三球之中。这是因为,如果A2、A3、B2都是好球,那么坏球必在A4或B3之中,如果A4或B3是坏球,那么放A4、B2、C1的盘子一定重于放A2、A3、B3的盘子,现在的情况恰好相反,所以,并不是A2、A3、B2都是好球。

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