1.从未解开的数学趣味奥秘
数学的确提出了大量问题。事实上，数学和问题是分不开的。历史证明，数学概念成了数学问题的催化剂，数学问题又激发了许多数学概念和数学发现。古代三大不可能作图题①、柯尼斯堡桥问题②和平行公设问题③是历史上已经得到解决并在解决过程中激发数学思维、概念和发现的典型问题。提出数学问题，思考数学问题，细阅答案证明，是推动数学家前进的动力。
一、未解决的素数问题
有没有一个公式或一种试验方法可用来确定一个给定数是否素数？是否有无穷多对孪生素数？一对孪生素数是一对相邻素数，它们的差是2。例如3和5，因为5－3＝2。还有如5和7，11和13，41和43。
奇完满数之谜。如果一个数等于它的全部真因数的和，则这数称为完满数，真因数即除本身以外的因数。6是偶完满数的例子，因为6＝1＋2＋3。其他例子有28、496和8128。约公元前300年，欧几里得证明，如果2n－1是素数，则2n－1（2n－1）是完满数。然后在18世纪，伦哈德·欧拉证明任何偶完满数必然符合欧几里得的式子。例如8128＝26（27－1）。
但是奇完满数仍是一个谜。至今为止，没有人发现过一个奇完满数，也没有人证明所有完满数都是偶数。
二、哥德巴赫猜想
每一个大于2的偶数都是两个素数的和吗？
1742年，德国数学家克里斯琴·哥德巴赫（1690～1764）给伦哈德·欧拉（1707～1783）写了这样一个猜想：除2以外的每一个偶数都是两个素数的和。例：4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，10＝5＋5，12＝7＋5。虽然哥德巴赫的这一猜想被相信是对的，但是还没有人作出过证明。至今为止，已获得了下述成果：1931年，苏联数学家施尼雷尔曼思路清晰地证明了任何偶数可被写成不多于300000）个素数的和——这与两个素数离得太远了；伊凡M．维诺格拉多夫（1891～1983）证明所有足够大的奇整数都是三个素数的和；1973年，陈景润证明每一足够大的偶数都是一个素数与一个或是素数或是仅有两个素因数的数之和。
三、费马大定理
在17世纪，皮埃尔·德·费马（1601～1665）在他的一本书的边上写道：
把一个立方数分成两个立方数，把一个四次方数或一般地任何超过二的高次方数分成两个同次方数，都是不可能的，对此教师肯定已经获得一个绝妙的证明，但是边上地位太窄，写不下。
这定理可重述为：如果n是大于2的自然数的话，不存在任何正整数x、y、z能使xn＋yn＝zn。费马的注成了一个挑战。几世纪以来，甚至最卓越的数学家都没能作出证明或反证。
研究尚未解决的数学思想，与探讨已知的东西同样有趣。这里不过是数学的未解之谜中的一点小小的样品。虽然有些问题很简单，可以讲给没有数学背景的人听，但它们的解却是难以捉摸的。
1．只许用直尺和圆规求解的古代三大不可能作图解是：三等分一个角（把一个角分成相等的三个角）、倍立方（作一立方体，使它的体积是一给定立方体的两倍）、化圆为方（作一正方形，使它的面积与一给定圆相等）。由这三个问题刺激发展起来的几个发现是尼科米兹的蚌线、阿基米德的螺线和希庇亚斯的割圆曲线。
2．柯尼斯堡桥问题的要求是找出一条通过柯尼斯堡七座桥的路线，其中任何一座桥都只许经过一次。欧拉在解这问题时发展了网络的概念。
3．平行公设涉及的是确定欧拉的第五公设究竟是不是公设而非定理。试图证明这一公设的各种努力，导致了非欧几何的发现。
2.数学教学中的趣味奥秘应用
一、首先要使学生喜欢学数学
教师在长期的数学教学实践中悟出一个道理：“要使学生学好数学，首先要使学生喜欢学数学”。许多青年教师经常问教师：“数学教师怎样才算成功呢？”教师的回答是：“如果全班学生都喜欢上你的课，你就成功了；如果学生都讨厌上数学课，甚至见了你就头疼，你就失败了。”记得有一位外国着名数学教育家说过：“数学教师最大的失败，就在于把学生都教得讨厌数学。”这句话讲得非常深刻，数学教师最大的失败为什么不是把学生教得都考“零”分呢，因为考“零”分还会有挽回的可能，换一位老师可能会有所改变。如果“讨厌数学”了，他看到数学书就头疼，见到数学符号就害怕，还怎么继续学习中学数学和高等数学呢！这就害了孩子的一生，这种心理上的阴影是很难消除的。
其实，心理学家早就做过“学习兴趣与学习成绩相关性”的实验研究，结果是兴趣最高的那门学科成绩最好，最讨厌的那门学科成绩最差。因为在心情愉快、精神放松的状态下学习，能有效地提高学习效率，人的潜能得到充分的开发。许多大学问家的名言也证明了这一点。爱因斯坦说：“热爱是最好的老师。”中国教育学会会长顾明远教授说：“没有爱就没有教育，没有兴趣就没有学习。”
怎样培养学生学习数学的兴趣？可从外在和内在两方面进行：
外在方面，主要凭借教师采用一定的教学方法和教学手段进行。如在课堂教学设计中恰当地采用愉快教学法、情境教学法、游戏教学法以及多媒体辅助教学等。特别重要的是多采用赞赏、激励的办法，使学生树立学习的信心。你的-声激励的话，一个赞赏的眼光，都能温暖孩子的心，使他的心灵产生涟漪，甚至终生难忘。可是现在有些评课专家把这些做法贬为“廉价的表扬”、“助长孩子骄傲自满”，殊不知他自己也是爱听表扬的，领导表扬他一次，他可三天睡不着觉呢。
内在方面，主要是依靠数学本身的魅力吸引学生，使学生从中产生兴趣。在练习设计中，配合课本尽可能采用趣味题、游戏题、智力题和思考题，使学生在“练中生趣”。由此发生的兴趣，使学习数学成为学生自身的需要，从而持久下去。
“一日一题”活动，每天布置一道趣味题让学生回家思考，把正确答案交给教师的前10个同学会获得一张小书签，积10张小书签可换一份小礼物。趣味题诸如：“大杯可以盛9升水，小杯可以盛4升水，杯上没有刻度，怎样可以倒出6升水？”这次活动把学生积极性都调动起来了，回家都积极思考，有的连家长也参与进来了，乐此不疲，其乐无穷。
强调激发学生的兴趣，使学生愉快地学习，同时又要重视培养学生勤奋刻苦的学习精神。学习是一种复杂的脑力劳动，不可能事事都愉快，有的时候甚至是艰难而痛苦的过程，有的时候难免枯燥乏味，需要一定的克制力和意志力。
勤奋刻苦的学习精神，是中国教育的优良传统。正由于这种教育的影响，在历史的长河中勤奋刻苦的学习精神，逐渐成为中华民族的优良品质之一。中国人缺乏创新精神这是事实，但绝不是勤奋刻苦学习而造成的；当今科技发展已达到很高的水平，再要前进一步有所创新绝非易事，必须脚踏实地、刻苦钻研，需要的正是勤奋刻苦的精神。现在学校里蔓延着一种不良风气，学习怕苦怕累，做事拈轻怕重，浮躁虚夸，急于求成，缺少的正是中国人引以为荣的勤奋刻苦的精神，这很值得教师们深思。
二、打好基础永远是最重要的
教师历经各次教学改革，经受了正反两方面的经验教训，有一句话深深印在教师的心里：“打好基础永远是最重要的。”
学生处于长身体、长知识和养成良好行为习惯的关键阶段，是一个人成长的奠基时期，他们学习数学的主要任务是掌握人类长期积累又经过不断提炼的最基本的数学知识。所以对小学生来说，打好基础永远是最重要的，这是讨论“双基”教学问题的出发点。
现在有人不赞成提“加强‘双基’”，担心会阻碍学生思维能力和创新能力的发展，这种担心是没有根据的。一个人的思维能力从哪里来？不能凭空而来，不是教师嘴巴上讲出来的，而是从学生学习基础知识和解题过程中获得的，练的过程中才会促使学生思考，不练无从想起。
其实，早在30年前，中国数学教育界已经着手研究和解决“加强‘双基”’和“发展思维”的关系问题。由上世纪80年代提出，90年代逐步得到完善的一个提法：“在加强‘双基’的同时，培养能力和发展智力。”这个提法，言简意赅，特别是“同时”这两个字用得好，把“双基”教学和能力智力的关系以及解决的办法说得一清二楚。正由于在这种指导思想下，当时的数学教育质量和数学教学研究都达到相当高的水平。这是用中国人的智慧解决了国际数学教育界难以解决的问题。
