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第21章 数学教学的趣味运用推荐(15)

18世纪初,圆周率达到72位。19世纪时,圆周率又求到140位、200位、500位。1873年,威廉·欣克用了几十年时间,将π值算到707位。

到了1946年,世界上第一台电子计算机(ENIAC)问世美国,有人在计算机上用了70个小时,算出圆周率达到2035位。1955年达到10017位,1962年达到10万位。1973年达到100万位,1981年日本数学家把它推算到200万位。1990年美国数学家继续新的计算,将π值推到新的顶点4.8亿位。

经过长时间艰苦的计算,π值只是个近似值,这是一个永不循环的数学计算,也是数学史上的马拉松。

96.为什么九条路不能相交是错误的

在世界各个地方,都极为广泛流传着这样一道数学名题,虽然说法各不相同,但实际上却是同一个问题:一个地方有三个村庄及三所学校,从一个村庄到三所学校各自修一条路,能否使这九条路不相互交叉呢?许多人认为,只要你不怕艰难多绕绕弯子,这件事是很容易办到的。但事实并非如此,上面这些想法是不可能实现的,其中有着奇妙的数学原理。

在19世纪,瑞士着名大数学家欧拉,他在研究多面体的顶点数、棱数以及面数的相互关系时,从中发现了一个规律,例如立方体共有8个顶点、12条棱、6个面,它们所具有共同的关系8-12+6=2。而其它多面体也具有同样的关系,就是一个多面体如果有n个顶点、m条棱、p个平面,就一定有n-m+p=2,这就是我们今天仍在运用的欧拉公式。有了欧拉公式以后,前面我们所说的问题就容易解决了。把问题看成是一个立体图形,把每个村庄或学校当做一个顶点,一条路就等于是一条棱,人们用路围起来的部分相当于一个面。

因为前面说有九条棱、六个顶点,那么算来有6-9+p=2,就是p=5,那么应该有5个面;但是从另一个角度去考虑,如果从一个村庄出发,走一条路就可以到达一所学校。然后再走一条路就能够到达另一个村庄,然后再走一段路就可以到达另一所学校,最后再走一段路最终才能回到原地。因此围成一个面最少要四段路即四条边,现在我们有9条棱,如果边数的确是18条,最少四条边可以围成一个面,当然不能组成5个面。也就是说设计九条路的想法是错误的。

科学家针对上述错误问题的研究,已经形成了人们在数学领域的一个小小的分支——拓扑学。拓扑学对工程设计、机器组件的设计、集成电路设计,电子计算机的程控,以及各种各样的信息网络系统的建立,全部都有广泛的应用。

97.数学黑洞“西西费斯串”

传说在古希腊神话中,科林斯国王西西费斯被罚将一块巨石一直推到一座山上,但是不管他如何努力,这块巨石总是在到达山顶之前就滚下来,于是他只好再推,并且永无休止。世界着名的西西费斯串就是依据这个故事一举得名的。

什么叫西西费斯串呢?它是随便一个数,如35962,数出这个数中的偶数个数以及奇数个数、及全部数字的个数,就能得到2:2个偶数、3:3个奇数、5:总共五个数,用这三个数组成下一个数字串235。用235重复以上程序,就可以得到1,2,3,把数串123再重复进行,仍得123。对这个程序和数的“宇宙”,123就是一个数学黑洞。

是不是每一个数最后都可以得到123呢?用一个大数试试看。如:88883337777444992222,在这个数中偶数、奇数及所有数字分别为11、9、20,把这三个数合起来可得到11920,对11920这个数串重复这个程序可得到235,然后再重复这个程序得到123,于是便进入“黑洞”了。

这就是着名数学黑洞“西西费斯串”。

98.数学知识的原始积累

公元前3000年以后,也就是新石器时代后期,世界气候发生变化,人们被迫转向从事一定规模的农耕和饲养,驯化野生的植物和禽兽,形成定居的人口密集的农耕群体。这种群体最初大多出现在大河流域。如非洲的尼罗河畔,西亚的底格里斯河和幼发拉底河流域,东亚的黄河和长江两岸,中南亚的印度河和恒河地区以及中美洲的墨西哥湾沿岸。所以历史学家把上述大河流域的古埃及、巴比伦、中国、印度称为文明的发源地,或者称为四大文明古国。

数学知识伴随着人类的文明的产生而起源,并率先在几个文明古国开始了漫长的原始积累过程,人类的祖先为我们留下了珍贵的、可供研究的原始资料,其中最着名的古埃及象形文字纸草书和巴比伦楔形文字泥板书,较为集中地反映了古埃及数学和巴比伦数学的水平,它们被视为人类早期数学知识积累的代表。

古埃及纸草书,是用尼罗河流域沼泽地水生植物的茎皮压制、粘连成纸草书,用天然涂料液书写而成的。有两份纸草书直接书写着数学内容。一份叫做“莫斯科纸草”,大约出自公元前1850年左右,它包括25个数学问题。这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得,也称之为“戈兰尼采夫纸草”,现藏莫斯科美术博物馆。另一份叫做“莱茵特纸草”,大约成书于公元前1650年左右,开头写有:“获知一切奥秘的指南”的字样,接着是作者阿默土从更早的文献中抄下来的85个数学问题。这份纸草书与1858年被苏格兰人莱茵特购得,后为英国博物馆所藏。这两份纸草书是我们研究古埃及数学的重要资料,其内容丰富,记述了古埃及的记数法,整数四则运算,单位分数的独特用法,试位法,求几何图形的面积、体积问题,以及数学在生产、生活实践中的应用问题。

巴比伦泥板书,是用截面呈三角形的利器作笔,在将干而未干的胶泥板上刻写而成的,由于字体为楔形笔划,故称之为楔形文字泥板,从19世纪前期至今,相继出土了这种泥板50块之多。它们分别属公元前2100年带苏美尔文化末期,公元前1790年至公元前1600年间汉莫拉比时代和公元前600年至公元300年间新巴比伦帝国及随后的波斯、塞流西德时代。其中,大约有300至400块是数学泥板,数学泥板中又以数表居多,据信这些数表是用来运算和解题的。这些古老的泥板,现在散藏于世界各地许多博物馆内,并且被一一编号,成为我们研究巴比伦数学最可靠的资料。巴比伦数学从整体上讲比古埃及数学高明,古巴比伦人采用60进位值制记数法,并计算出倒数表、平方表、立方表,平方根表和立方根表,其中√2(——)可近似为1.414213…。巴比伦的代数有相当的水平,他们用语言文字叙述方程问题及其解法,常用特殊的“长”、“宽”、“面积”等字眼表示未知量,除求解二次、三次方程的问题之外,也有一些数论性质的问题。巴比伦的几何似乎没有古埃及的几何那么重要,只是收罗了一些计算简单图形的面积、体积法则,也许他们只是在解决实际问题时才搞点几何。此外,巴比伦数学中有很明显的商业、农业和天文历算的应用背景。

可以说,在人类早期数学知识积累过程中,由于计数物件的需要,产生了自然数,随着记数法的产生和发展,逐渐形成了四则运算,导致算术的产生;由于计量实物的需要,产生了简单的几何图形,随着农业、建筑业、手工业及天文观测的发展,逐渐积累了有关这些图形的基本性质和相互关系的经验知识,于是几何学萌芽了;由于商业计算、工程计算、天文历算的需要,在这个阶段,直至公元前6世纪,无论如何也找不到我们今天所谓的“理性的数学”,而只是一种初级的“经验的数学”。

99.火柴游戏

一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩,先置若干支火柴于桌上,两人轮流取,每次所取的数目可先作一些限制,规定取走最后一根火柴者获胜。

规则一:若限制每次所取的火柴数目最少一根,最多三根,则如何玩才可致胜?

例如:桌面上有n=15根火柴,甲﹑乙两人轮流取,甲先取,则甲应如何取才能致胜?

为了要取得最后一根,甲必须最后留下零根火柴给乙,故在最后一步之前的轮取中,甲不能留下1根或2根或3根,否则乙就可以全部取走而获胜。如果留下4根,则乙不能全取,则不管乙取几根(1或2或3),甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏。同理,若桌上留有8根火柴让乙去取,则无论乙如何取,甲都可使这一次轮取后留下4根火柴,最后也一定是甲获胜。由上之分析可知,甲只要使得桌面上的火柴数为4﹑8﹑12﹑16...等让乙去取,则甲必稳操胜券。因此若原先桌面上的火柴数为15,则甲应取3根。(∵15-3=12)若原先桌面上的火柴数为18呢?则甲应先取2根(∵18-2=16)。

规则二:限制每次所取的火柴数目为1至4根,则又如何致胜?

原则:若甲先取,则甲每次取时,须留5的倍数的火柴给乙去取。

通则:有n支火柴,每次可取1至k支,则甲每次取后所留的火柴数目必须为k+1之倍数。

规则三:限制每次所取的火柴数目不是连续的数,而是一些不连续的数,如1﹑3﹑7,则又该如何玩法?

分析:1﹑3﹑7均为奇数,由於目标为0,而0为偶数,所以先取者甲,须使桌上的火柴数为偶数,因为乙在偶数的火柴数中,不可能再取去1﹑3﹑7根火柴后获得0,但假使如此也不能保证甲必赢,因为甲对於火柴数的奇或偶,也是无法依照己意来控制的。因为〔偶-奇=奇,奇-奇=偶〕,所以每次取后,桌上的火柴数奇偶相反。若开始时是奇数,如17,甲先取,则不论甲取多少,1或3或7,剩下的便是偶数,乙随后又把偶数变成奇数,甲又把奇数回覆到偶数,最后甲是注定为赢家;反之,若开始时为偶数,则甲注定会输。

通则:开局是奇数,先取者必胜;反之,若开局为偶数,则先取者会输。

规则四:限制每次所取的火柴数是1或4,一个奇数,一个偶数。

分析:如前规则二,若甲先取,则甲每次取时留5的倍数的火柴给乙去取,则甲必胜。此外,若甲留给乙取的火柴数为5之倍数加2时,甲也可赢得游戏,因为玩的时候可以控制每轮所取的火柴数为5,若乙取1,甲则取4;若乙取4,则甲取1,最后剩下2根,那时乙只能取1,甲便可取得最后一根而获胜。

通则:若甲先取,则甲每次取时所留火柴数为5之倍数或5的倍数加2。

6、韩信点兵

韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少?

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945。

中国有一本数学古书《孙子算经》也有类似的问题:今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?

答曰:二十三。

术曰:三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得。凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得。

孙子算经的作者及年代均不可考,不过根据考证,年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。中国剩余定理在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

100.猪八戒新传之八戒被劫

八戒路过一个大果园,见无人看管就溜了进去。园里种有许多桃树,树上结满了沉甸甸的大桃子。八戒可高兴了,脱下外衣铺在地上,专挑大的桃子摘,包了一大包,背起来就走。

“站住!”突然有人喊了一声,吓了八戒一大跳。他四下寻找,发现是当地的土地神。土地神指着八戒喊道:“大胆的猪八戒,竟敢白日做贼,还不快快把赃物放下!”

八戒陪着笑脸说:“我说土地神,我们师徒4人有两日没吃东西了,摘几个桃子孝敬师傅,请抬抬手让我过去吧!”

“不成!桃子不能拿走!”土地神把头一歪,丝毫不让步。

八戒眼珠一转,一本正经地说:“这样吧!这包桃子分给你一部分,然后你让我过去。你要知道我师兄孙悟空可不是好惹的!”

一听“孙悟空”三个字,土地神全身一震。他改口说:“这样吧,咱们是‘见一面分一半’。”说完土地神就把包袱打开,你一个我一个分了起来,最后正好分成相等的两份。土地神说:“咱俩分得一样多可不成,我要从你那堆里拿一个。”说完飞快地从八戒堆里拿来一个放到自己堆里,然后摆摆手叫八戒过去。

八戒背起包袱心里暗骂:“可恶的土地神,贪得无厌,一人一半还嫌少!”八戒背着包没走几步又被山神拦住了。山神把包袱中的桃子分成相等的两份,最后又从八戒那份中挑了一个大桃放到自己堆里。接着八戒又被风神、火神、龙王用同样办法要走了桃子。已经看到师傅了,八戒一摸包里只剩下一个桃子啦!怎么办?他一跺脚说:“剩一个桃子怎么向师傅交待,干脆我把它吃了吧!”

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