1.数学的产生
数学最初是从结绳记事开始的。大约在三百万年前，人类还处于茹毛饮血的原始时代，以采集野果、围猎野兽为生。这种活动常常是集体进行的，所得的“产品”也平均分配。这样，古人便渐渐产生了数量的概念。他们学会了在捕获一头野兽后用一个石子、一根木条来代表；或者用在绳子上打结的方法来记事、记数。这样，在原始社会人们的眼光中，一个绳结就代表一头野兽，两个结代表两头……或者一个大结代表一头大兽，一个小结代表一头小兽……。数量的观念就是在这些过程中逐渐发展起来的。随着捕获手段的提高，所获的野兽越多，绳子的结越多，需要的数目也越大。
在距今大约五六千年以前，沿非洲的尼罗河出现了一个伟大的文明社会——埃及。埃及人较早地学会了农业生产。尼罗河每年7月定期泛滥，淹没大片农地，11月洪水逐渐退落。埃及人通过长期观察，注意到当天狼星和太阳同时出没的时候，正是洪水将至的预兆。还发现，这种现象大约365天重复一次。这样，埃及人就选择在洪水泛滥之后留下的肥沃淤泥上下种，待6月洪水来临之前收割，以获得好的收成。这是通过天文观测进行农业生产的结果，其中也包含了数学知识的应用。另一方面，古埃及的农业制度，是把同样大小的正方形土地分配给每一个人的，租用的人每年把他的收成提取一部分给土地所有者——国王。如果洪水冲毁了他们所分得的土地，他可以向国王报告，国王便派人前来调查并测量损失的那一部分，这样，他交的租就会相应减少。这种对于土地的测量，导致了几何学的诞生。实际上，几何学的原意就是“土地测量”。
数学正是从打结记数和土地测量开始的。
与埃及同时，世界上还有几个同样伟大的文明社会，如亚洲西部的巴比伦，南部的印度和东部的中国，它们分别创造了自己的文字，同时也产生了各自的记数法和最初的数学知识。在距今大约两千多年以前生活在欧洲东南部的希腊人，继承了这些数学知识，并将数学发展成为一门系统的理论科学。古希腊文明被毁灭后，阿拉伯人保存和继承了他们的文化，后来又传回欧洲，使得数学重新繁荣起来，并最终导致了近代数学的创立。
2.数的出现
原始社会，人类在狩猎、种植、捕鱼、采集等活动中，要与野里、鱼、木棒、石头等打交道，久而久之，人们便有了多少、数量的认识。这种对数的认识往往与实物联系在一起，如用“月亮”代表“1”，用“眼睛”、“耳朵”、“鸟的翅膀”代表“2”。这是由于只有一个月亮，人有两只眼睛两只耳朵、鸟有两只翅膀的缘故。原始人还认识到一个苹果和一头羊各是一个个体，三棵树和三把石斧都是三个体的堆等，这就是最初的数的概念。
最早用来计数的是手指、脚趾，或小石子、小木棍等。表示1，2，3，4个物体，就分别伸出1，2，3，4手指，遇到5个物体便伸出一只手，10个物体伸出两只手。当数目很多时，就用小石子来计数，10颗小石子一堆就用大一些的一颗石子来代表。中国古代用的是木、竹或骨子制成的小棍，称为算筹。但是，大多数的原始人遇到大一些的数目，往往无法区分。
用手指、脚趾、石子、小木棍等来计数，难以长时间记录一个数字。因此，古人发明了打绳结来记数的方法，或者在兽皮、树木、石头上刻划记数。这些记号，慢慢就变成了最早的数字符号(数码)。
现在通用的数码是印度——阿拉伯数码，用十进位制来表示数。用0，1，2，…，9十个数码可表示任一数，低一位的数满10后就进到高一位上去。这种十进制，现在看来简单而平常，可它却是人类经过长期努力才演变成的。如在古埃及，数码记号是这样的：
11010010001000010000100000100000
一个数中若某位数超过1时，就要将它的符号重复写若干次。写更大的数则是一大串符号了，这样运算当然十分困难。古希腊人也需要27个字母互相组合，才能表示100以内的数目，非常不便。
除了十进制以外，还有五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十一进制、十二进制、二十进制、六十进制等。经过长期实际生活的应用，十进制占了上风。
数的概念和数码、进位制的出现和发展，都是人类长期实践活动的结果。
3.泥版的故事
19世纪前期，人们在亚洲西部伊拉克境内发现了50万块泥版，上面密密麻麻地刻有奇怪的符号。这些符号是古巴比伦人所用的文字，现在人们称它为“楔形文字”。科学家经过研究，弄清了泥版上所记载的，是古巴比伦人已获得的知识，其中包括了大量的数学知识。
古代人最初用石块、绳结，后来又用手指来记数。一个指头代表1，两个指头代表2，……，当数到10时，就得重新开始，巴比伦人由此产生了逢十进一概念。又因为，一年中月亮有12次圆缺，一只手又有5个指头，12×5=60。这样，他们又有了隔60进一的记数法。他们用表示1，＜表示10，从1到9是把写相应的次数，从10到50是把＜和结合起来写相应的次数。例如35写成＜＜＜。这种记数的方法，影响了后人，产生了现在我们所用的十进制和六十进制。例如，时间分为1小时=60分，1分=60秒。
巴比伦人还掌握了许多计算方法，并且编制各种数表帮助计算。从那些泥版上，人们发现巴比伦人已有了乘法表、倒数表、平方和立方表、平方根和立方根表。他们还运用了代数概念。
巴比伦泥版上还有这样的问题：兄弟10人分123米那的银子(米那及后面的赛克尔都是古代的重量单位，其中1米那=60赛克尔)，已知他们分得的银子数成等差数列，而且第八个人的银子为6赛克尔，求每人所得的银子数量。从这样一些例子中，科学家认识到了巴比伦已知道等差数列、等比数列的概念。
巴比伦人也具备了初步的几何知识。他们会把不规则形状的田地分割为长方形、三角形和梯形来计算面积，也能计算简单的体积。他们非常熟悉等分圆周的方法，求得圆周与直径的比π≈3，还使用了勾股定理。
他们的成就对后来数学的发展产生了巨大的影响。
4.金字塔和纸草书
闻名世界的埃及金字塔，几百年来不仅以它宏伟高大的气势，吸引了无数旅游观光者，而且由于它设计的别致，建造的精巧，吸引了世界各地的科学家。据对最大的胡夫金字塔的测算，发现它原高146.5米(现因损坏还高137米)，基底正方形每边长233米(现为227米)。但是，各底边长度的误差仅仅是1.6厘米，只是全长的114600；基底直角的误差只有12″，仅为直角的127000。此外，金字塔的四个面正向着东南西北，底面正方形两边与正北的偏差，也分别只有2′30″和5′30″。
这么高大的金字塔，建造精度如此之高，这使得科学家深信，古埃及人已掌握了丰富的知识。当科学家破译了古埃及人流传下来草片上的文字后，这一猜想得到了证实。
原来，在尼罗河三角洲盛产一种形状如芦苇的水生植物——纸莎草，古埃及人把这种草从纵面剖成小条，拼排整齐，连接成片，压榨晒干，用来写字，在纸莎草上写的字，叫纸草书。如今将这种纸草书的一部分整理出来。
1822年，一位名叫高博良的法国人弄清了它们的含义，使人们知道，古埃及人已学会用数学来管理国家和宗教事务，确定付给劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，按土地面积估计应该征收的地税，计算修造房屋和防御工程所需要的砖块数；计算酿造一定量酒所需的谷物数量；等等。换成数学的语言就是，古埃及人已经掌握了加减乘除运算、分数的运算；他们解决了一元一次方程和一类相当于二元二次方程组的特殊问题。纸草书上还有关于等差数列和等比数列的问题。他们计算矩形、三角形和梯形的面积，长方体、圆柱体、棱台的体积等结果，与现代计算值相近。更令人惊奇的是，他们用公式A=(89d)2(d为直径)来计算圆面积，这相当于取π值为3.1605，这是非常了不起的。
由于具有了这样的数学知识，古埃及人建成金字塔就不足为怪了。
5.佛掌上的“明珠”
印度是个信奉佛教的国度，古印度人对古代数学的贡献，犹如印度佛掌上明珠那样耀眼、令人注目。
在公元前3世纪，印度出现了数的记号。在公元200年到1200年之间，古印度人就知道了数字符号和0符号的应用，这些符号在某些情况下与现在的数字很相似。此后，印度数学引进十进位制的数字和确立数字的位值制，大在简化了数的运算，并使记数法更加明确。如古巴比伦的小记即可以表示1，也可以表示160，而在印度人那里，符号1只能表示1单位，若表示十、百等，须在1的后面写上相应个数的0，现代人就是这样来记数的。
印度人很早就会用负数来表示欠债和反方向运动。他们还接受了无理数概念，在实际计算中把适用于有理数的运算步骤用到无理数中去。他们还解出了一次方程和二次方程。
印度数学在几何方面没有取得大的进展，但对三角学贡献很多。这是古印度人热衷于研究天文学的副产品。如在他们计算中已经用了三种三角量：一种相当于现在的正弦，一种相当于余弦，另一种是正矢，等于1cosa，现在已不采用。他们已经知道三角量之间的某些关系式。如sin2α+cos2α=1，cos(90°-α)=sinα等，还利用半角表达式计算某些特殊角的三角值。
6.数学之桥
阿拉伯人对古代数学的贡献，早现在人们最熟悉的1、2、…9、0十个数字，称为阿拉伯数字。但是，在数学发展过程中，阿拉伯人主要是吸收、保存了希腊和印度的数学，并将它传给欧洲，架起了一座“数学之桥”。
在算术上，阿拉伯人采用和改进了印度的数字记号和进位记法，也采用了印度的无理数运算，但放弃了负数的运算。代数这门学科的名称就是由阿拉伯人发明的。阿拉伯人还解出一些一次、二次方程，甚至三次方程，并且用几何图形来解释它们的解法。如对于方程x2+10x=39，他们的几何解法如下：作一个正方形，假定它的边长为未知数x，然后在经四边上，向外作x=52的矩形。将整个图形扩充成边长为x+5的正方形，整个大正方形面积等于边长为x的正方形面积与边为52的四个正方形面积及边长各为x、52的四个矩形面积之和。所以大正方形面积是x2+4x×52×x+4×52×52，即x2+10x+25。因为x2+10x=39，所以大正方形面积等于39+25即是64。因此，大正方形边长等于8，而x就是8-25〖〗2=3。阿拉伯人还用圆锥曲线相交来解三次方程，这是一大进步。
阿拉伯人还获得了较精确的圆周率，得到了2π=6.283185307195865，π已计算到17位。此外，他们在三角形上引进了正切和余切，给出了平面三角形的正弦定律的证明。平面三角和球面三角的比较完整的理论也是他们提出的。
阿拉伯数学作为“数字之桥”，还在于翻译并着述了大量数字文献，这些着作传到欧洲后，数字从此进入了新的发展时期。
7.数学的摇篮
巴比伦人和古埃及人积累了许多数学知识，但他们只能回答“怎么做”，却无法回答“为什么”要这么做的道理。古希腊人从阿拉伯人那里学到了这些经验，进行了精细的思考和严密的推理，才逐渐产生了现代意义上的数学科学。
第一个对数学诞生作出巨大贡献的是泰勒斯。他曾利用太阳影子计算了金字塔的高度，实际上就是利用了相似三角形的性质。他弄清了：直角彼此相等；等腰三角形的底角相等；圆被任一直径平分；如果两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等；而且证明了这些知识。这些知识现在看起来很简单，但在当时是非常了不起的。
在仄勒斯之后，以毕达哥拉斯为首的后批学者对数学作出了贡献。他们最出色的成就之一是发现了“勾股定理”，在西方被称为“华达哥拉斯定理”。正是用了这一定理，后来导致了无理数的发现，引起了第一次数学危机。
稍晚于毕达哥拉斯的芝诺，提出了四条着名的悖论，对以后数学概念的发展产生了重要的影响。
经过泰勒斯到芝诺等人的努力，古希腊的数学有了全新的发展。欧几里德吸取其中的精华，写成了《几何原本》这本在数学史上最有名的着作。今天人们所学的平面几何学知识，都来源于这本书。
继欧几里德之后，阿基米德开创了希腊数学发展的新时期，人们称之为亚历山大时期，阿基米德在数学方面的工作，远远超越了他那个时代，被后人称为“数学之神”。他设计过一种大数体系，即使整个宇宙都填满了细小的砂粒，也可以毫不费力地把砂子的粒数数出来。他通过作边数越来越多的内接正多边形、外切正多边形，算得了圆周率的值在31071到371之间。他得到了求面积和求体积的公式，还发明了以他名字命名的螺钱。
