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第71章 统计与概率的故事(1)

1.妙算男女比例

你知道新生婴儿的男女比例吗?18世纪法国数学家拉普拉斯就曾经用统计的知识对伦敦、柏林、彼得堡等几个城市和法国全国婴儿的出生情况进行过调查。

经过持续10年的研究,拉普拉斯发现,男婴在所有婴儿中的比例为22/43≈0.512。可是,在同时研究巴黎60年(1725—1784年)间类似的统计资料时,得出的数据却是25/49≈0.510,为什么数据有差别呢?拉普拉斯对这个问题进行了研究,发现,总的数据里包含了一切的弃婴,因为当时弃婴现象比较严重,而弃婴中女婴较多,这样就使得巴黎统计数据不够准确了。当拉普拉斯从出生婴儿总数中减去这些弃婴的数字后,再进行计算,则男婴的出生率也就稳定在22/43左右。这和法国其他地区以及外国所统计的数据是完全一致的。

拉普拉斯成功地统计了男女比例,对以后的一些研究提供了很大的帮助。你对什么东西感兴趣呢?看看用什么样的方法来求得你想到的结果呢?

我去参观气象站,看到许多预测天气的最新仪器。

参观完毕,我问站长:“你说有75%的概率下雨时,是怎样计算出来的?”

站长不必多想便答道:“那就是说,我们这里有14个人,其中3个人认为会下。”

2.从赌博中得出的概率论

卡当是一个很有才华的人。他知识面非常广,不仅是一名医生,同时又是一位数学家。可是,他也有一个爱好——赌博,在业余时间经常和朋友们一起玩。一般的人仅仅把赌博看成一种游戏,而卡当却从赌博中发现了数学问题,并因此取得了巨大成就。

一次,卡当的一个贵族朋友和人家打赌掷骰子。可是他不知道把钱押在哪个数字上容易赢。为此头疼不已。贵族赢钱心切,他想到了聪明的卡当。于是他找来卡当帮忙。卡当对此也非常感兴趣,一向喜欢思考的他开始认真研究起来。

每个骰子有6个面,把两颗骰子扔出去,点数之和可能是从2到12的任意一个数字,可是哪个数字出现的可能性最大呢?

卡当拿出纸笔,计算了一下。发现了一个结果:两个骰子朝上1面一共有36种可能,从2到12这11个数字中,7是最容易出现的和数,它出现的可能性的是1/6。

所以卡当预言,押7最容易赢。

贵族听了卡当的话,把大部分的钱押在7上,果然赢了很多钱。

这在现在看来很简单的方法在当时却是非常杰出的思想方法。

在那个时代,虽然概率的萌芽有些发展,但是还没有出现真正的概率论。

卡当并没有停留在对赌博的研究。为了弄清楚这个问题,他找到许多著名的数学家一起讨论。这样,就诞生了新的数学分支——概率论。卡当的发现对概率论的出现有非常重要的作用。

英国诗人捷尼逊写过一首诗,其中几行是这样写的:“每分钟都有一个人在死亡,每分钟都有一个人在诞生……”

有个数学家读后去信质疑,信上说:“尊敬的阁下,读罢大作,令人一快,但有几行不合逻辑,实难苟同。根据您的算法,每分钟生死人数相抵,地球上的人数是永恒不变的。但您也知道,事实上地球上的人口是不断地在增长。确切地说,每分钟相对的有1.6749人在诞生,这与您在诗中提供的数字出入甚多。为了符合实际,如果您不反对,我建议您使用7/6这个分数,即将诗句改为:‘每分钟都有一个人死亡,每分钟都有11/6人在诞生……”

3.愚蠢的士兵

东西相邻两国发生战争。东西国家之间有一条大河。河上没有桥,而且因为战争,摆渡的船也都停止了做生意。西方的国家取胜心切,派了一名大将率领8000名士兵进攻东方的国家。

大军在河边集结以后,为了快速渡河,将军派兵查看水情。

“这条江的平均水深是多少?”将军问。

部队参谋回答道:“将军,平均水深是140厘米。”

“那我们士兵的平均身高呢?”

“士兵的平均身高是168厘米。”

“太好了,这样头正好可以露在水面上走过去。大家跟上,过江吧!”将军非常得意,他以为这样就能安全过河了。

士兵们一排接一排,向江水中走去。他们越走水越深,水先没过了腿,然后是腰,接着没过了脖子,差不多走到江的水中央时,将军和士兵们全部掉入水中淹死了。最后,东方的国家不战而胜,西部国家实力大损。

问题出在哪里呢?难道部队参谋错了吗?没有。一切问题的根源在“平均”二字上。说“平均”水深,并不意味着河水最深的地方是140厘米。

其实江水最浅的地方只有100厘米,但是江水中央最深的地方水深却是180厘米。

所谓140厘米,仅仅指的是平均值,身高不足180厘米的士兵们显然会掉入水中淹死。因此,西部的国家不战而败。

在上数学课的时候老师问同学们:“如果10个人拆一座房子需要3天,那么由5个人来拆同一座房子需要多少时间呢?”

“这不可能,”一个男孩回答,“因为同一座房子不能拆两次,老师!”

4.大数学家判赌局

伟大的数学家、物理学家和哲学家帕斯卡有一次出外旅行。他偶遇贵族子弟梅累,为了打发无聊的旅途时光,两人闲聊起来。梅累嗜赌如命,他曾经遇到过的一个分赌金的问题,至今让他迷惑不解。这次和大数学家帕斯卡同行,他开始请教帕斯卡这个问题。

梅累说,一次他和赌友掷骰子,各用32个金币做赌注,约定,如果梅累先掷出三次“6点”,或赌友先掷出三次“4点”,就算赢了对方。两个人赌了一阵儿,梅累已经掷出了两次“6点”,赌友也掷出了一次“4点”。可就在即将分出输赢的时候,梅累得到命令,需要立刻觐见国王,所以这场赌局中断了。那么他们俩该怎样分这64个金币的赌金呢?梅累和赌友争起来。

赌友说,梅累要再掷一次“6点”才算赢,而他自己如果掷出两次“4点”也就赢了,这样一来,自己所得的应该是梅累的一半,就是说,梅累得到64个金币的2/3,他自己得1/3。可梅累说,即使是下一次赌友掷出个“4点”,自己没掷出“6点”,两人“6点”、“4点”各掷出两次,那金币也该平分,各自收回32个金币,更何况如果自己掷出个“6点”来,那就彻底赢了,64个金币就该全归他了。所以,他应该先分得一定能到手的32个金币,剩下的32个金币应该对半分,那么梅累自己该得到64×3/4=48个金币,而赌友只能得16个金币。

自己和赌友到底谁说得对呢?梅累迷惑地问帕斯卡。

就是这样一个看起来简单的问题,竟把帕斯卡这位大科学家给难住了。帕斯卡为此足足苦想了三年,才悟出了一些道理来。于是他又和自己的好朋友,当时的另外两位数学家费尔马和惠更斯展开了讨论。他们得出一致的意见:梅累的分法是对的。因为在赌博必须中断的时候,梅累赢得全局的可能性是3/4,而赌友的可能性是1/4。梅累一方的可能性更大。后来,三位数学家的讨论结果被惠更斯写进了《论赌博中的计算》一书,这本书被公认为世界上第一部有关概率论的著作。

你明白概率是什么了吗?概率就是量化了的可能性,说得再明白点就是取胜的把握或者失败的可能性有多大。它是一个重要的数学分支,并且被广泛应用到现实生活中。

5.喝汤

每个人都有自己的口味,有人喜欢吃甜味食品,有人吃饭偏清淡,还有的人喜欢吃口味咸的东西。曹雪家里就是这样,这给掌勺的妈妈出了个大难题。

“妈妈!我喜欢吃咸的,把汤做得再咸一点儿吧!”

“别耍孩子脾气!汤怎么能做得太咸呢?”

妈妈准备晚饭的时候给曹雪舀了一勺汤让她尝尝味道。

“妈!太淡啦,一点儿盐都没放吗?”

于是妈妈又放了一勺盐,用汤勺在锅中搅拌了一下,又给曹雪尝了一勺。

“嗯……稍微咸一点了,爸爸一定喜欢喝,但是妈妈……”

“怎么了?”

“我只是喝了一小勺汤,您怎么就知道整锅汤的味道了呢?”

“哟!这么说来这一锅汤还都要给你喝了不成?”

“那倒不是这个意思……但是很奇怪呀,妈妈不是只从汤里面随便盛出一小部分吗,难道这也有道理?”

“当然了。妈妈只是运用了数学中‘抽样调查’的方法而已。不是有‘以一推十’这句话吗。”

“以一推十?”

曹雪不懂了。一向好学的曹雪缠着妈妈非要让妈妈讲,妈妈做好了汤开始给曹雪讲故事。

“所谓‘以一推十’的抽样调查就是要调查某一集体的情况,有全体调查和抽样调查两种方法。所谓全体调查,就是对群体中的每个个体都进行调查,得出最后的结果。从整体中只选择一部分进行的调查,就叫抽样调查。抽样调查就是把对一部分个体抽查的结果作为衡量整体水平的尺度。

“抽样调查在现实生活中应用广泛。比如它被应用在劳动力、时间、费用的节约、机械生产产品的检查、江湖海水和空气等的污染情况。

“把不可能通过所有个体的数据调查而得出结果的调查,变为可能的调查方法就是抽样调查。

“抽样调查中最重要的部分是选择合适的样本。要仔细选择可以代表整体水平的个体样本,随便选几个样本来做抽样调查是一点意义也没有的。整个数据群被称为全体,从中选出的一部分数据群被称为样本。全体和样本的关系就像‘一锅汤’和‘一勺汤’之间的关系一样。”

曹雪恍然大悟,她忙说:“那妈妈用汤勺在锅中搅拌后舀出一勺汤,只尝一口就能够判断出整锅汤味道的好坏。用汤勺搅拌汤,是保证随机选择样本的必要步骤。不同个体之间差距很大,或者个别个体很突出,都不利于抽样调查的进行,所以用汤勺搅拌汤是‘保持样本质量同一属性的过程’。对不对?”

妈妈高兴地点点头。曹雪终于明白其中的道理了。

郭教授到银行取出100元钱,数到58时,他把钱放入袋中。

出纳问:“怎么不数完呢?”

郭教授说:“数了这么多都没有错,大概后面不会有错了!”

6.智断《红楼梦》

曹雪芹的《红楼梦》是中国古代四大名著之一。相传他只是写了《红楼梦》的前80回,后40回由高鹗续写。事情已经过了几百年,可是对此仍没有一个定论。

这个问题困扰了人们几百年,近年来,科学家试图用科学的方法来解开这个谜。

20年前,在美国举行的“《红楼梦》讨论会”上,有个叫陈炳藻的教授提出了一个惊人的发现:他断定,《红楼梦》是曹雪芹一个人写的,这个结论是计算机自己“算出来”的。

他把曹雪芹常用的句式、词语和搭配方法等,作为样本输入到计算机里面,然后把前80回和后40回做了一个比较,发现它们的联系程度有80%。由此他判断,红楼梦前后都是曹雪芹一个人写的。

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