分析：数学知识尽管表现为形式化的符号，但它可视为具体生活经验和常识的系统化，它可以在学生的生活背景中找到实体模型。上述案例，在开放的交流中，学生把自己对分数大小比较时积累的感性经验表述出来，使同伴们具体、清晰地区分比较分数大小的多种方法，尤其是有几位学生还根据自身的感悟提出了与书本上不同的方法，而且也是十分科学、有效的方法。数学的思考是怎样产生的？学生在做一道题的时候，他的思维是怎样的？数学家迪厄多内说：“富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对所研究的对象有活生生的构想和深刻的了解。”这些构想与了解结合起来，就是所谓的直觉或感悟。事实上，学生可能的数学现实空间比我们想象的大得多，问题是我们没有使学生对所学的数学知识进行感悟。回顾一下我们自己的教学过程，我们在教学分数大小比较的时候，可曾让学生在“顿一顿筷子”这样质朴的事件里去领悟通分的必要性？我们又是否允许学生通过“随便顿一顿筷子的哪一端都可以比出长短”来建构他们自己对分子分母都不相同的分数比较大小的不同回答？也许我们忘了从这样最质朴的感悟开始，去为学生提供一根木桩，使学生能够把自己提升至高一级的阶梯之上。
感悟所强调的，是体验、融合、自得，它不是知识的分割和堆积，是对记忆的升华。什么叫“两个相关联的量？”只要钓过鱼就知道，浮漂沉浮的状态反映着鱼吃不吃饵的状态——非常生动的相关联现象；把食物放在小狗前面不远处，小狗箭也似的飞奔过去，跑的决然是一条直线——两点之间，线段最短。《数学课程标准》指出：要把学生从单纯的解题技巧和证明中解放出来，让学生学习真正的数学。西方数学教育界也提出“非形式化的数学教学（informelmathematicsteaching）”。这些都在提醒我们的数学教学要摆脱过度形式化的束缚，联系学生的日常生活实际，把数学呈现为学生容易接受的“教育形态”。
我们所强调的“感悟”，正是要把深刻的数学原理附着在浅显的事物上——深入浅出。
B“注意滑过”，用发现诠释数学的实质
引言：德波诺曾经有过这样一个说法：当我们驱车从A地到B地的时候，常常是因为车速过快，而始终忽视了路旁还有一个C点，C点那里还有一条很好的路，由A到B的路越顺畅，忽视C点的可能性就越大。就小学数学教学的现状分析，课堂教学设计和进行教学的一般程序，首先是设定教学目标，其中最具体的是学科知识的认识性目标，浅者要求达到讲清知识，深者要求达到发展能力；其次是设计教学过程，其中除了设计课堂教学的程序之外，重点是按教材逻辑，分解设计一系列问题及练习。课堂上，教师常常为完成教案，无论是问题还是练习，都在培养学生的条列式思维，而不是培养辐射式思维，总在尽可能努力引导学生达到预定文案。沿用德波斯所说，我们总竭力想使学生从A到B走得顺畅，而不注意到路旁的C——感悟。
视点：数学的学习，形成感悟应放在第一位，掌握概念或建立法
则应放在第二位，训练同感悟相比，层次要低得多。案例：20以内的加法课堂教学片断。教师：（出示口算）1+9=？2+8=？3+7=？4+6=？5+5=？学生：（口答）教师：（出示7+5=？）这一道题我们怎么计算呢？学生A：我把7分解为5和2，5+5=10，10+2=12教师：很好。请小朋友积极开动脑筋，看还有没有其他算法，也能“凑10”以后算出结果。学生B：我把5分解为3和2，7+3=10，10+2=12教师：真聪明。（发现还有学生举手）学生C：我把7分解为4和3，把5分解为3和2，3+3=6，4+2=6，
而最后6+6=12。（这位学生回答后长吁了一口气。）教师：哦，太复杂了，不过是对的。分析：课程改革强调数学学习活动应当是生动活泼、主动的和富有个性的过程，基于理念的转变和更新，许多老师也鼓励学生在解决数学问题时使用不同的策略（案例中“还有没有其他算法”）。但很多情况下，我们的教学一直是按我们成人认为的最优方法为目标进行的，即使让学生自己寻找结果，也总在使用暗示使之放松“感悟”（案例中“也能凑10”）这不禁让我想起了“霍布森选择效应”，他在贩马时把马匹放出来让顾客挑选，可条件是只允许挑选最靠门边的那匹马。你希望学生选择多种算法，而又限定其“凑10”，学生岂不同样陷入霍布森选择效应的困境？
反思我们的教学，就以上案例所呈现的教学内容，我们的教学一直在为“凑10”作准备，于是，教学进程便线性地“循序渐进”。这样做看似分散难点，学生容易学习，但如果我们仅仅规定“凑10”，就会抹杀掉很多独有的东西。因为我们限定了“凑10”，学生做了几个尝试后，就不用思考了，完全可以依样画葫芦。然而，学生的回答，哪怕时有错误，总蕴藏着他的合理性，学生完全有可能有一种特定的情况，如案例中的学生C，他会对6+6情有独钟！我们不能总想着让学生一学就会，一蹴而就，不想有什么地方为难学生，20以内的加法就“凑10”，那么，等“凑10”凑完了，数学所蕴涵的乐趣也就消退得无影无踪了。其实，学生在创造了自己的方法和认识了众多相应方法之后，会高屋建瓴地认识凑10法，在适合的时候自觉地运用凑10法。我们当然也排斥在算法上低水平的重复，只是强调珍视学生独特的感悟，毕竟凑10也罢，不凑10也罢，对于未来的计算都会变成历史陈迹，但学生在渴望中的寻找会成为他们永远的财富。因此，我们应该把重点放在揭示数学知识的本质上（案例中的内容就是分与合方法），在从A往B的路上，不断感悟路旁的C点，而不仅局限于“凑10”这样的“单打一”。
数学教育家陈仲穆先生早就提出了“淡化形式，注重实质”的主张。确实，局限于类似“凑10”这样违背学生天性的做法，一旦强化为学生的“第二天性”，那么，学生形成了“路径依赖”，就无益于学生数学学习时“基模”的扩展。我们要防止这种“浮滑”的教学，而把学生在探求知识路上的不断感悟当做学习数学新的“基础”。
“学习数学唯一正确的方法是实行再创造，也就是由学生本人把学习的东西自己去发现和创造出来。”荷兰着名数学家弗赖登塔尔所强调的，正是要求我们教师要帮助学生进行这种再创造，而不是把现成的东西灌输给学生。综观国际数学课程改革，许多国家和地区的数学课程目标都在强调养成主动地从自己的经验中建构和理解数学的概念。我们酿造的数学知识形成过程的方法论：让学生在感悟中发现数学，正是要求学生在头脑中对数学问题进行重新建构，它其实就是创新。巴赫的音乐充斥着数学的对称，埃及的金字塔也凝聚着“黄金分割”，当我们的学生在足球比赛时运动员的下底传中认识了角，在“山上有座庙”的故事里明白了数的循环……那么，他们必将会在滴水成河的情景中领略到贝克莱悖论的“无穷”，也会在“理发师不给自己理发”的事实里欣赏到罗素悖论的奥秘。当我们把数学教学与学生的生活紧密联系起来，不断地在教学中促进学生的感悟，培养学生一双能用数学观察世界的眼睛，一个能用数学思维思考世界的头脑，那么，数学课堂教学必将成为“沟通教育理想此岸和学生发展彼岸的具有转换功能的桥梁”！
该文获2004年度江苏省“教海探航”征文二等奖、省“师陶杯”征文一等奖，发表于2005年第五期《江苏教育》。
【参考文献】
1.刘兼、孙晓天：《数学课程标准解读》，北京师范大学出版社，2002年5月版。
2.郭思乐：《教育走向生本》，人民教育出版社，2001年6月版。
3.加里·D·鲍里奇（美）：《有效教学方法》，江苏教育出版社，2002年12月版。
走向“校本”：教师教研新思路
题记：“如果你想让教师的工作能够给教师带来乐趣，使天天上课不至于变成一种单调乏味的义务，那你就应当引导每一位教师走上从事研究的这条幸福的道路上来。”
——苏霍姆林斯基
追求卓越、敢于争先是我校持续发展的精神力量，如何将这一理念转变为全校师生的实际行动，办学方向决定着学校的发展趋势。“学校领导首先是教育思想的领导，然后才是行政的领导。”这耳熟能详的至理名言，该怎样让它鲜活地充溢在北小校园，我们以开放的视角，进行了有益的探索。党的十七大报告指出：“要加强教师队伍的建设，提高教师的师德和业务水平。”确实，没有现代教师精神的舒展，就没有现代教育真正的舒展。在这一方针的指引下，我们克服学校师资现状青年教师队伍庞大、市级以上骨干教师数量不足等困难，“基于学校”开展校本研究；“在学校中”进行校本培训；“为了学校”开发校本课程。深谋定朗朗思路，渴望铸赳赳雄兵，汗水润莘莘学子，大树结累累硕果。北小人验证了一个崭新的时代命题：走向“校本”，魅力无穷。
一、校本研究——“无边光景一时新”
随着“科研兴教”“教师成为研究者”等教育概念的流行，把教育科研作为学校发展的第一推动力已成共识，教师专业化发展的问题也备受人们关注。尤其在课改新形势下，教育科研是教育教学改革的重要推动因素，它不仅是一种实现生产力，而且是一种凝聚力和战斗力。教师的专业化成长，同样是关涉新一轮课程改革能否顺利进行的现实问题。也许是我校的科研市场发育得不够成熟，它在最终转化为“兴教”的实际效果上一直不够显着。为了打造自己独特的教育优势，并形成广泛的示范效应，我们理性而务实，让教师在教科研中领略教育市场的智慧。沐浴教育真谛的阳光，让教育科研成为教师职业生活的新方式，把校本研究作为促进教育教学提高的有效形式，将学校的实践活动与研究活动密切结合在一起，真正把教师引上教育科研这条“幸福之路”。
1.立一块镜子——自我反思自我反思是我校开展校本研究的第
一个环节，它不是一般意义上的“回顾”，而是反省、思考、探索和解决教育教学过程中各个方向存在的问题，具有研究的性质。课程改革的核心环节是课程实施，而课程实施的基本途径是课堂教学。“千层之台，起于垒土”，课堂教学的“垒土”之功是无论如何强调也不过分的。新课程到底该怎么上？三维目标如何落实？新课程倡导的学习方式如何实施？我们要求教师分教学前、教学中、教学后三个阶段进行反思，既有效地增强了教师的教学预测和分析能力，又促进了教师的教学调控和应变能力，同时也使教师的总结评价能力不断提高。通过反思，教师不断更新教育观念，改善教学行为，提升教学水平。在课改实验中，我们的教师推出了许多以人为本的课堂教学组织形式：“歌舞晚会式”“答记者问式”“自由辩论式”……在这样的课堂教学过程中，“并喻文化”所倡导的新型师生关系——“对话”关系，所追求的新型师生状态——教师式的学生和学生式的教师，正逐渐成为极富生命力的一种形态。这些课也在各级各类优质课评比中获奖。“经验+反思=成长”（波斯纳），实践证明，教学与反思相结合使教师真正成为了教学和教学研究的主人，成为了为教育“不需要要监督而具有坚毅品格的人。”
2.开一扇窗子——同伴互助在一个教师群体当中，能够有不同的思想、观念、教学模式、教学方法的交流与冲突，是非常宝贵的。因此，我们把教师互助合作作为我校开展校本研究的核心环节。我们在强调教师自我反思的同时，开放自己，加强教师之间以及在课程实施等教育活动上的专业切磋、协调和合作，共同分享经验，互相学习，
彼此支持，共同成长。具体地：
实行两制：单周新课程集体备课制和双周新课程案例剖析制。
增设两讲：每周教师大会上增设两个讲坛，一是“级组课改风采”；二是“教师课改论坛”。
开展两赛：一是以教研组为单位，集体备课后抽签决定一人执教的“合作研究课”竞赛；二是以青年教师为主体的“新课改探索课”竞赛。
特别地，我们的课改论坛实行“三不限”：内容不限、对象观点不限、形式不限（可对话、可讨论、可争辩），教师从不敢讲、不想讲、不能讲、不会讲到敢讲想讲能讲会讲，这本身就是专业发展的历程。当然，批判的目的终究还是为了完善和总结，争论的最终趋向还是要取得共识。就这样，教师不断从同伴中获得信息、借鉴和吸收经验，共同承担负责，完成任务，群策群力；教学经验丰富的优秀教师帮助和指导新任教师。通过同伴互助，防止和克服了教师各自为战和独立无援的现象。可以说，教师集体的同伴互助与合作是我校开展校本研究的标志和灵魂。
3.树一面旗帜——专业引领我校的校本研究是一种理论指导下的实践性研究，我们把理论指导、专业引领作为校本研究得以深化发展的重要支撑。我们在期初“教师队伍建设实施意见”中就明确提出，开展校本研究要加强对教师的业务辅导。校本研究虽然是围绕本校的事实和问题进行的，但也并非局限与本校的力量。因此，我们邀请名师来校讲学，主要有学术专题报告、理论学习辅导讲座、教学现场指导以及教学专业座谈等，每一种形式都有其特定的功用。这一举措的实施促进了我校教师的专业化成长，提高了他们独立教学和独立研究的能力，并且突破了校本研究同水平反复的层次，把研究的过程变为教师与专家思想碰撞、交流的过程，变为教学智慧的激发、促动过程，使我校的校本研究迈开了实质性步伐。
校本研究的全面启动，带动了学校工作的全面发展。三大措施相辅相成、互相促进，有效地促进了我校校本研究制度的建设。过去“万马齐喑”的局面被打破，迎来的是“无边光景一时新”。
二、校本培训——“风光不与四时同”
校本研究是落实校本的起点，它使每个教师走向了自己的生活舞台，也为学校的改革与发展提供了基础和价值预设。但课改的复杂性、艰巨性和长期性也影响和消磨着教师对新课程的热情和信心。我们在校本研究的过程中发现，教师最缺失的就是现代教育理论，最难的就是更新教育观念，最直接的需要就是学习。发现问题之初，正是痼疾极其严重之时，因此，我们以校本培训为中介，把通识培训与学科培训相结合，重视参与式研修。突出一条主线——学习，实现理论与实践两翼齐飞；抓住一个关键——评比，培育总结与创新两种能力。
