尽管集合论公理系统建立起来，并得到广泛承认，但仍然存在许多问题，例如：不可达基数和序数是不是存在？连续统假设是否能够证明；公理系统的协调性和独立性……从20世纪30年代之后，为了解决这些问题，公理集合论掀开了新的一页。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，因为它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其他形式延续着。
无穷集的一些古怪性质
我们这里列下一些无穷集的重要性质，可以从中看出康托尔如何利用这些性质得到惊人的数学定理。
性质1任何无穷集包含一个子集是可数集。
〔证明〕假定A是给定的无穷集，我们从A中构造一个子集B。由于A是非空集合，存在一个元素x1在A里，我把x1放在B中。由于A是无穷集，还有一个元素x2在A、{x1}里；我把x2取出放在B中，我们可以这样一直进行，把A的一序列元素x1，x2，x3，x4，…放进B中。B就是A的可数子集。
性质2可数集A的任何子集B是可数集或有限集。
〔证明〕由于A是可数集，可以把A中元素编号：
a1，a2，a3，…，an，…
如果A的子集B不是空集，假设an1，an2，…是根据以上编号后B中元素全体。如果自然数n1，n2，…nk，…中有最大的数，那么B就是有限集。如果不存在，那么让ank与自然数k相对应，就可以看出B是可数集。
性质3如果有可数个A1，A2，A3，…的可数集，则它们的和集∪∞n—1An=A1∪A2∪…∪An∪…仍旧是可数集。
〔证明〕不失去一般性我们可以假定对于任何i，j，Ai和Aj没有共同元素。
我们现在对A1，A2，A3，…的元素编号：
A1：a（1）11，a（2）12，a（4）13，a（7）14，…
A2：a（3）21，a（5）22，a（8）23，…
A3：a（8）31，a（9）32，…
A3：a（10）41，
对于固定k，Ak的元素是形如：ak1，ak2，ak3，…等等。像以上排好元素后，我们就用有圆圈的1，2，3，…照以上的方法注明，现在我们定义F：{1，2，3，…}→∪∞n—1An为F（1）=a11，F（2）
=a12，F（3）＝a2b，F（4）＝a13，F（5）＝a22，F（6）=a31，
F（7）=a14，…，从上面可以直观看出这映射是一一对应。因此∪∞n—1An仍旧是可数集。
读者如果将（2）、（3）用直线连起来，可以看出它是长方形（1）（2）（5）（3）的对角线，同样连（4）（5）（6）这是长方形（1）（4）（13）（6）的对角线。以上的证明是康托尔发现的“康托对角线法”（Cantor’sdiagonalmethod）。这证明是很巧妙。
我们现在利用以上的结果证明下面的：
定理有理数集Q是可数集。
〔证明〕令A是所有的正有理数集，A—是所有的负有理数集。Q=A∪（O）∪A—
由这篇文章前的“一个很奇怪的数学现象”的说明你知道A是可数集。定义一个映射T：A→A—，对于任何pq，我们定义T（pq=—pq），可以证明这个映射是一一对应，所以A—也是可数集。
由以上的性质3可以知道Q一定是可数集。
假定有两个集合A、B，我们可以构造一个叫“A、B的乘集”A×B的新集合，这是包含所有的对偶（Couple）（a、b），a是A的元素，b是B的元素。
比方说A={东，南，西，北}，B={1，2}则A×B={（东，1），（东，2），（南，1），（南，2），（西，1），（西，2），（北，1），（北，2）}我们常用的坐标平面，实际上就是两个实数集数轴的乘集。
性质4如果A、B是可数集则其乘集A×B也是可数集。
〔证明〕假设A＝{a1，a2，a3，…}，B＝{b1，b2，b3，…}则A×B={（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），…}∪
{（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），…}∪
{（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），…}∪…
由于它是表示成为可数个可数集的和集，因此A×B是可数集。
利用数学归纳法我们可以得到底下的结果。
性质5如果有可数个可数集A1，A2，A3，…，则它们的乘集A1×A2×A3×…仍是可数集。
我们知道有限集A里，不可能找出一个真子集（不等于全集的子集）B，使得A和B对等。可是在自然数集N里，所有的偶数集合E是它的真子集，而N和E是对等的。
是否对于其他的无穷集，都会有这样的性质呢？
答案是肯定的，下面是德国人戴德金发现的。
性质6任何无穷集与它的一个真子集对等。
〔证明〕假定X是无穷集，由性质1，可以在X中找到一个可数集B={x1，x2，x3，…}。
现在取A＝X＼{x1，x2，x3，…}，然后我们取X的真子集X′{x2，x3，…}∪A（即X′是从X中去掉x1）现在定义？F：X→X′
F（xi）＝xi+1i=1，2，…
F（x）=x当x在A中
则F是一一对应，故X和X′对等。
为什么要把“0”作为一个自然数
现在，人们已经明确地把数“0”作为一个自然数看待。大部分的解释是把这看作一个“规定”：就是说可以把“0，1，2，…，n，…”作为自然数，也可以把“1，2，…，n，…”作为自然数。
首先，应该从自然数的功能说起，自然数是人类最早用来描述周围世界“数量关系”的概念，几乎从一开始就具有三个基本功能，一个是帮人类来刻画某一类“东西”的多少，用现代的数学语言来说就是描述一个有限集合的基数（性质）；另一个就是刻画一类“事物”的顺序，“第一”，“第二”，……用现代的数学语言来说，描述一个有限集合中元素的“顺序”性质。这就是说，自然数既具有用来描述集合（有限）元素多少的基数性质，又具有描述集合元素顺序的序数性质。或者可以进一步说，自然数既是基数，又是序数。“自然数”的第三个基本功能是“运算功能”。自然数可以做加法运算和乘法运算。在此基础上，随着对运算的深入研究使得我们一步一步地建立起了有理数、实数和它们的运算。
我们知道“空集”是集合中一种最主要也是最基本的集合，也是我们在描述周围现象中经常用到的集合，在数学中更是经常要用的。例如：所有不能表示为两个素数之和的偶数集合是空集吗？这就是哥德巴赫猜想。一般地说，集合常常被分为有限集合和无限集合两类。有限集合是含有有限元素的集合。像学校中人的集合，学校中男人的集合，学校中女人的集合，学校中老师的集合和学生的集合，某个一元二次方程解的集合等等都是有限集合；无限集合是含有的元素不是有限的集合。像自然数集合、有理数集合、实数集合、复数集合等等。把“空集”作为一个有限集是很自然的。并且我们很容易理解应该用“0”来描述“空集”中含元素的多少。
有了前面这些说明，我们就容易理解这样一个事实：如果把“0”作为一个自然数，那么“所有自然数”就可以完整地完成刻画“有限集合元素多少”的任务了。而没有“0”的“所有自然数”总是有“缺陷”，因为没有自然数可以表示“空集”所含元素的多少。这样，我们从“自然数的一种基本功能”方面说明了把“0”作为自然数的好处。
我们还必须说明另一个问题：把“0”作为自然数，是否会影响自然数的“序数功能”和“运算功能”？不仅不会，还会使“自然数”的这两功能更加“完整”。先看原来没有“0”的自然数，我们都知道不同自然数有大小之分，8大于5，1000大于999，按这样的大小，所有自然数构成了一个“有顺序”的集合。即若自然数n1大于n2，n2大于n3，则自然数n1大于n3，我们称之为“传递性”。另外，对于任何两个自然数n1和n2，或者n1大于n2，或者n2大于n1，或者n1等于n2，即“三歧性”。一般地说，我们把具有传递性和三歧性的集合称之为线性序集。
我们很容易理解有理数集，实数集都是线性序集（按照通常的顺序）。即若有理数（实数）r1大于有理数（实数）r2，而r2大于有理数（实数）r3，则r1大于r3（传递性）；另外，对任意两个有理数（实数）r1和r2，则或r1>r2，或r2>r1，或r1=r2（三歧性）。自然数在“顺序”方面的性质，除了上述性质之外，还有一种它所具有的特殊的性质。在陈述这一基本性质之前，有必要说明一点，如我们前面所说，“自然数”具有三种基本功能，或说三种基本性质，我们在有些时候要说明这些性质之间的联系，但有时候常常要单独地讨论一种“功能”的性质，在这种情况下，要学会“排除”其他“功能”的干扰，这样才能较好地理解“一种功能”的“本质”。“自然数反映顺序的性质”中，最基本的性质是“自然数集合的任何一个非空的子集合中，一定有最小的数”。在不包含0的自然数集合中。例如，“所有偶数的集合”中2是最小的；在“既可被5整除又可被7整除的自然数集合”中，35是最小的。并不是所有有“顺序”性质的集合都具有这种“特殊的性质”，例如：无论是有理数，还是实数，都具有“传递性”和“三歧性”，但是它们同样不具有自然数所拥有的那种特殊的性质。例如区间（0，1）是有理数集合或实数集合中的非空子集，然而（0，1）中没有最小的数存在。在这里加一句话，自然数的这种特殊性质，是一类一般的良序集合所拥有的基本性质。自然数集仅是一种特殊的良序集合，这种性质是保证数学归纳法成立的基本性质。一般读者不必介意这些话。
如果把“0”加入传统的自然数集合，新的自然数集合{0，1，2，…，n，…}依然会保持原自然数集合{1，2，…，n，…}拥有的所有的“顺序”性质。当然也包括那种特殊的性质。
对自然数的运算功能：加法和乘法来说，把“0”加入传统的自然数集合，不仅所有的“运算法则”依旧保持，如对加法和乘法运算都是封闭的，即新自然数集合{0，1，2，…，n，…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。同时保持加法、乘法运算的结合性和交换性，以及乘法对加法的分配性。即n1（n2+n3）=n1n2+n1n3。不仅于此，特别对加法运算来说，有了“0”这个特殊的数，加法运算变得更完整了，用一句群论的语言来说，新的自然数在加法运算下，成了有零元的加法交换半群了。
既然“0”加盟到自然数集合中，只有好处没有坏处，为什么我们不应该欢迎“0”作为自然数集合的一个成员呢？
最后，再补充一点“集合论”方面的常识。我们都知道，无法给集合下一个确切的数学定义。在20世纪初，一大批著名的数学家从不同的角度来弥补“无法给集合下一个严格定义”的缺陷，他们建立了“公理集合论”，并由此得到一系列影响现代数学发展的重要结果。“公理集合论”其基本的思想就是避免“悖论”。在“公理集合论”中，“空集”是第一个被给出的“具体集合”，并由“空集”出发再由其他的一些公理构造出了所有的集合，包括自然数集合、有理数集合、实数集合、复数集合等等。而在构造出的自然数集合中，“空集”就相当于“零”。
除了前面介绍的自然数的三种基本功能之外，所有自然数的集合是中小学生见到的一个最重要的无限集合，没有零的自然数集合与包括零的自然数集合可以在下面的对应规则下看作是“完全一样”的；n—n+1.在这个意义下他们是“同构”的。
希望我们能更好地理解“0是一个自然数”，这样做是“理所当然”的，而不仅仅是人为的“规定”。这件事可以帮助我们更好地理解自然数和它的功能。我们不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”，还应该思考它们“后面”的数学含义。
关于集合
日常生活中，人们往往习惯于将某些性质相同的事物进行归类，并给它一个总称。比如桃子、苹果、梨等，总称为水果；桌子、椅子、床等，总称为家具。在数学里，当人们把一些事物放在一起考虑时，就说它们组成了一个集合。比如，1、2、3、4、5这5个数字组成了一个集合，全体偶数也组成了一个集合。一个集合，总是由一些基本事物构成的，这些基本的事物叫做这个集合的元素。比如3是自然数集合的元素，1/3是正分数集合的元素。
集合是数学中最重要、最基本的概念之一。集合论是专门研究集合的学科，它是现代各门数学学科的基础。在代数里，人们经常要用到全体有理数构成的集合，全体实数构成的集合，方程的解的集合等。在几何里，人们会遇到由点构成的集合：直线、线段、圆、平面等。
如果某一个集合中的元素同时也是另一个集合中的元素，那么就称前一个集合是后一个集合的子集，比如全体正数构成的集合就是全体实数构成的集合的子集。两个集合中的元素合在一起构成的集合，叫做这两个集合的并集；两个集合中共有的元素构成的集合，叫做这两个集合的交集。
旅馆巧安排
有限和无穷的这个特点可以从下面的小故事反映出来，这个故事据说是希尔伯特说的。
某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合（1，2，3，4，…），称为可数无穷集。
有一天开大会，所有房间都住满了。后来来了一位客人，坚持要住房间。旅馆老板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”正好这时候，聪明的旅馆老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间。”于是1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后，1号房间空出来，请这位迟到的客人住下了。
第二天，希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围，她说：“您让1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……k号房间客人搬到2k号，这样，1号，3号，5号，……房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。”
过一天，这个代表团每位代表又出新花招，他们想每个人占可数无穷多间房来安排他们的亲戚朋友，这回不仅把老板难住了，连女儿也被难住了。聪明的女儿想了很久，终于也想出了办法。
希尔伯特旅馆越来越繁荣，来多少客人都难不住聪明的老板女儿。后来女儿进了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课，他问：“要是区间［0，1］上每一点都占一个房间，是不是还能安排？”她绞尽脑汁，要想安排下，终于失败了。康托尔教授告诉她，用对角线方法证明想安排下一切的方案都是行不通的。
由康托尔的定理，可知无穷集合除了可数集合之外还有不可数集合，可以证明：不可数集合的元素数目要比可数集合元素数目多得多。为了表示元素数目的多少，我们引进“基数”也称“势”的概念，这个概念是自然数的自然推广。可以与自然数集合N一一对应的所有集合的共同性质是它们都具有相同的数目，这是最小的无穷基数记做0。同样，连续统（所有实数或［0，1］区间内的所有实数集合）的基数是C0康托尔还进一步证明，C＝20，问题是C是否紧跟着0的第二个无穷基数呢？这就是所谓连续统假设。
巧妙破解论辩中的悖论
