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第9章 数学之谜(9)

围绕着对回文数的研究,数学家们发现,有的回文数不老实,不是明明白白地站在数字的队伍里,而是隐藏在其他数里,经过特殊变换以后才显露真容。比如83,它不是回文数,将它与其倒数相加,83+38=121,就变成了回文数121。经过多次验算,数学家提出了一个猜想:任取一个自然数,把它倒过来与原数相加,然后把这个和数再与它的倒数相加,一直重复这个运算,最后总能得到一个回文数。数学家把这个猜想叫做“回数猜想”。

请看:

83:83+38=121,经过1步运算就能得到回文数121;

68:68+86=154,154+451=605,606+506=1111,1111是回文数,只需3步运算就能得到;

195:195+591=786,786+687=1473,1473+3741=5214,5214+4125=9339,要运算4步,得到的回文数是9339。

是不是所有数经过上述运算都能产生回文数?也就是说,回数猜想是对的还是错的?这个问题至今没有解决。

最初,人们是一个数一个数地去验算。当有人对196进行上述运算时,算了5万步,所处理的数已达到21000位,仍没有获得回文数。人们就猜测,也许196永远也变不成回文数。如果真的是这样,那么“回数猜想”就是错误的。然而,不管你算了多少步,这种运算总没到头,没到头就不能否定,要否定必须给出足够的理由。

后来,人们又发现,在10万个自然数中,有5996个数,不管运算多久,似乎也产生不出回文数,196就是其中最小的一个。但是,不管怎样运算,就是没有人能找出它们产生不了回文数的确凿证据来。所以只能用含糊的词“似乎”来表述。

此路不通。一些数学家就采取另外的方法来研究。他们对既是质数又是回文数的数进行了特别的研究,一方面想看看这些数有什么特性或规律,另一方面也想从中找出证明回数猜想的蛛丝马迹。

通过研究,数学家发现了一些有特殊性质的回文质数。比如19391,把它的5个数字写在一个圆周上,你从其中任一个数开始,不管是顺时针写还是逆时针写,写出来的5位数都是质数。这种回文质数很少。

数学家还发现回文质数除11外必须有奇数个数字。因为每个有偶数个数字的回文数,必然是11的倍数,所以它肯定不是质数。比如125521是一个有6位数字的回文数。判断能被11整除的方法是:一个数所有偶数位数字之和与所有奇数位数字之和的差是11的倍数,那么这个数就能被11整除。125521的奇数位数字是1、5、2,而偶数数字是2、5、1,而偶数位数字是2、2、1,它们和的差是:

(2+5+1)-(1+5+2)=0是11的倍数,所以125521可以被11整除,它不是质数。

有些回文数相乘之后,所得乘积还是回文数。例如212×141=29892。这样的例子还不少:

11×11=121,22×22=484.111×111=12 321,111×121=13431,111×131=14 541,121×212=25 652。

在回文数中平方数是非常多的,比如121=11(上标2),12 321=111(上标2),1 234 321=1 111(上标2)……一直到12 345 678 987 654 321=111 111111(上标2)。你随意找一些回文数就会发现,平方数所占的比例比较大。

立方数也有类似情况。比如1 311=11(上标3),1367 631=111(上标3)等等。

对回文质数的研究虽然取得了一些成绩,发现了一些特性,但是用它们也不能证明“回数猜想”。

“回数猜想”证明不出来,却没有挡住数学家想象的驰骋,他们又大胆地猜想:回文质数有无穷多个;回文质数对(中间的数字是连续的,而其他数字都相等,如30103和30203)也有无穷多对。但是也没有人能证明这些猜想是对的。扑朔迷离的回文质数又给数学家们出了一个难题。

普林斯顿322号

17世纪德国著名科学家开普勒说:“几何学有两个宝藏,一个是勾股定理,一个是黄金分割。”

勾股定理是人类发现的最早的几何定理之一。1955年希腊发行一张邮票,图案是由3个棋盘排列而成。这张邮票是为了纪念2000多年前古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理而发行的。邮票中,把下面的正方形分成了25个小正方形,上面两个正方形,一个分成16个小正方形,另一个分成9个小正方形,每个小正方形的面积都相等。

9+16=25,也就是说3(上标2)+4(上标2)=5(上标2),这是我们熟悉的“勾三股四弦五”。希腊人说勾股定理是毕达哥拉斯发现的,所以叫“毕达哥拉斯定理”。

其实,这个定理不单是毕达哥拉斯发现的,在我国的《周髀算经》一书中,就记载了二千多年前我国周代人测太阳高度时,使用了勾股定理的事实。勾股定理用语言叙述是:“在一个直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。”或说成“勾方加股方等于弦方”。勾股定理的逆定理也是对的,即在一个三角形中,如果有两条边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对应的角必定是直角。这个逆定理也早就被古埃及人发现了,他们利用这个定理来做直角,建造了举世闻名的大金字塔。

古巴比伦与中国、希腊、埃及并称为四大文明古国,但是古巴比伦已经消亡。对古巴比伦人的了解,主要来源于刻在泥板上的楔形文字。他们用木笔将文字和数字刻在泥板上,由于笔画像楔子,所以叫楔形文字。从19世纪开始,考古学家在古巴比伦的遗址上发掘出50万块泥板,几乎世界上一些大的博物馆都有收藏。在这50万块泥板中大约有三百块是专门讲数学的。从这些泥板中我们了解到三千多年前的古巴比伦有很高的数学水平。

哥伦比亚大学普林斯顿收集馆的第322号收藏品,就是一块古巴比伦泥板。这块泥板写于公元前1900年至公元前1600年,距今三千多年了。这块泥板左边掉了一块,右边靠中间有一个很深的缺口,左上角也剥落了一片。通过查验发现,泥板左边破损处有现代胶水的结晶。这表明,这块泥板在挖掘时可能是完整的,后来破了,科学工作者曾试图用胶水把它们黏合在一起,可以后又分开了。碎片也许还在,如果能把碎片找到,一定会引起人们很大的兴趣。

普林斯顿322号上到底是些什么东西?

原来它上面有3列数字,用的是古巴比伦的记数方法。这些数是干什么用的?科学家们不得而知。他们想探出个究竟来。

为了研究方便,数学家把普林斯顿322号上的数全部翻译成阿拉伯数字(见表1)。

表1

┏━━━━━━━┳━━━━━━━━┳━━━━┓

┃ 119 ┃ 169 ┃ 1 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 3 367 ┃ 4 825(11 521)┃ 2 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 4 601 ┃ 6 649 ┃ 3 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 12709 ┃ 18 541 ┃ 4 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 65 ┃ 97 ┃ 5 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 319 ┃ 481 ┃ 6 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 2 291 ┃ 3 541 ┃ 7 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 799 ┃ 1 249 ┃ 8 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 481(541) ┃ 769 ┃ 9 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 4 961 ┃ 8 161 ┃ 10 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 45 ┃ 75 ┃ 11 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 1 679 ┃ 2 929 ┃ 12 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 161(25 921)┃ 289 ┃ 13 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 1771 ┃ 3 229 ┃ 14 ┃

┣━━━━━━━╋━━━━━━━━╋━━━━┫

┃ 56 ┃ 106(53) ┃ 15 ┃

┗━━━━━━━┻━━━━━━━━┻━━━━┛

再看这些数,很明显靠右边的那一列是用来表示行数的。而另外两列数,好像杂乱无章,没什么意义。古巴比伦人写这些数到底要说明什么?毫无边际地从杂乱的数中找规律太难了。

数学家不甘心,经过认真研究以后,惊喜地发现:两列中的对应数字,恰好都是边长为整数的直角三角形的斜边和一条直角边,只有4个例外。数学家对4个例外数进行了修正,表1中把原来不正确的数字写在括号里了。

这是解开普林斯顿322号之谜的巨大发现。

数学家再接再厉,又利用勾股定理,假定普林顿322号给出的是直角边b和斜边c,算出另一条直角边a来。并列了一个相应的表(见表2)。

表2

┏━━━━━━━━━━━━━━━┳━━━━┳━━━━┓

┃ a b c ┃ u ┃ v ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 120 119 169 ┃ 12 ┃ 5 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 3 456 3 367 4 825 ┃ 64 ┃ 27 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 4 800 4 601 6 649 ┃ 75 ┃ 32 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 13 500 12 709 18 541 ┃ 125 ┃ 54 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 72 65 97 ┃ 9 ┃ 4 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 360 319 481 ┃ 20 ┃ 9 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 2 700 2 291 3 541 ┃ 54 ┃ 25 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 960 799 1 249 ┃ 32 ┃ 15 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 600 481 769 ┃ 25 ┃ 12 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 6 480 4961 8 161 ┃ 81 ┃ 40 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 60 45 75 ┃ 2 ┃ 1 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 2 400 16.79 2 929 ┃ 48 ┃ 25 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 240 161 289 ┃ 15 ┃ 8 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 2 700 1 771 3229 ┃ 50 ┃ 27 ┃

┣━━━━━━━━━━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫

┃ 90 56 106 ┃ 9 ┃ 5 ┃

┗━━━━━━━━━━━━━━━┻━━━━┻━━━━┛

数学家进一步研究发现,表中所列的勾股数,除第十一行的60、45、75;第十五行的90、56、106外,都是素勾股数。

什么是素勾股数呢?

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