第12章 《名画》

前苏联著名科学家别莱利曼在他所著的《趣味代数学》中介绍了波格达诺夫·别列斯基的《名画》，画上那位老师拉金斯基是一位自然科学教授，放弃了大学教席来到农村学校当一名普通老师。

画中，黑板上写着一道式子：

十几个学生，有的抓头，有的搔腮，都在吟思，看来老师正让大家心算这道题目，画面紧凑生动，寓意很深。

如果光凭心算来算这一题，是比较困难的，因为数据比较大，算起来比较繁。但如果仔细一研究，10、11、12、13、14这几个数目具有一种有趣的特性：

102+112+122=132+142，

而且

100+121+144=365。

所以，很容易算出画里的算式应等于2。

现在，把这个问题推广一点：还有没有其它这样五个连续的整数，前三个的平方和正好等于后两个的平方和呢？

设x为这五个连续整数的第二个数，（这样设有方便之处，为什么？）依题意可列得方程：

（x—1）2+x2+（x+1）2=（x+2）2+（x+3）2。

去括号，化简，得

x2—10x—11=0。

解这个一元二次方程，得

x1=11，x2=—1。

所以，具有所要求性质的数列有两组：拉金斯基的那组是10，11，12，13，14；另一组是—2，—1，0，1，2。

事实上，

（—2）2+（—1）2+02=12+22。

如何把问题进一步拓宽一点：有没有这样七个连续整数，前四个的平方和等于后三个的平方和？问题就是要解方程（x—3）2+（x—2）2+（x—1）2+x2=（x+1）2+（x+2）2+（x+3）2。

不难得出这个方程的解是x1=24，x2=0。

读者不难写出类似的等式。