１４世纪，随着欧洲航海和贸易的发展，出现了带有直线网格或罗盘方位线的航海指南图，以帮助航海家们制定航海计划。这些图主要绘制于威尼斯、热那亚和马略卡岛。虽然我们不清楚人们在制作这些航海图时是否使用了特殊的投影技术，但是它们都相当精确。我们还不太了解在这一时期人们使用中国发明的罗盘的程度及天文导航的状况。但是美洲大陆的发现及托勒密的《地理学》的出版，为绘制精确的世界地图作好了准备。托勒密的《地理学》直到１５世纪才在欧洲露面，首先在１４７７年印刷于波仓那。文艺复兴时期人们使用了各种各样的投影方法。这常常是由于美学的原因，如弗朗西斯科·罗塞利于１５０８年首次使用了流行的卵形世界地图。这些投影基于图形的结构，而不是基于三角公式。
被誉为“当代托勒密”的杰拉德·墨卡托（ＧｅｒａｒｄｕｓＭｅｒｃａｔｏｒ，１５１２—１５９４）为航海家设计了一套特别的投影法。墨卡托就学于洛文大学，学习哲学、数学、天文学和制图学，他还是雕刻师和器械制作师。从１５３０年中期起，他绘制了一系列地图，包括了佛兰德地图和巴勒斯坦地图。１５４４年因异端行为被投入监狱，但由于大学的努力疏通，很快被释放。之后他到了现在位于德国的克里夫公国杜伊斯堡，并于１５６４年成为威廉公爵的宫廷“宇宙志学家”。在１５６９年，就是在杜伊斯堡，他创建了“墨卡托投影法”，用以绘制世界地图。该投影法的新颖之处是把经纬线画成直线，以便于航海家们使用。在一个球面上，如果一艘船沿着一个固定的方向行驶时，他的航线通常是一条曲线。事实上，假设按着固定的方向行驶（除非是朝着南北极之一行驶），它通常的航线是球面上的一条曲线。实际上有可能连续沿一个固定方向，船舶会螺旋式地朝一个极前进。但是将这些航程线投影成直线，就可以减轻航海家的工作。墨卡托投影法的另外一个长处是：实际航线的变化角度和航海图上的航线变化角度保持一致。虽然当纬度增高的时候会使地图扭曲得很厉害，但是它仍是当时绘制世界地图最常用的投影法。以后该投影法被彼得斯的等积投影法所取代。
在《航海中的失误》（１５９９年）一书中，爱德华·赖特对墨卡托投影法进行了数学分析。在同一年由理查德·哈克卢特出版的《航海原理》一书中，赖特发表了基于墨卡托投影法的世界地图。随着对陆地和天体认识的深入，人们开始研制地球仪和天体仪。这些仪器通常是为了教学的需要，同时它们也被作为新知识的象征。在通常情况下，人们将地球仪和天体仪安装在一起，使之成为双胞胎球体。随着天体观测精确度的逐步增加以及三角投影法在法国、英国和其他欧洲国家的兴起，世界地图需要定时更新。
然而，为了绘制精确的地图和航海图，需要知道关键地点精确的经度和纬度。纬度很好计算，它们与北极的等高线一致。当时，为了确定纬度，人们可以利用太阳的位置并使用太阳光与赤道的夹角的偏差表对纬度进行修正。然而，经度就比较难以计算了。以某一个子午圈为零时区，从该子午圈开始每隔１５°产生时差为１小时的时区。当地时间可以通过天体观测或日晷来确定。但是，为此我们需要同时知道零时区的时间。一种方法是将月亮看成是夜晚的时钟，通过观测它在空中的运行来计算时间。但是月亮的运行轨道是非常不规则的，而且由于航海时间较长，所以只有当航海家手中有早已绘制好的月亮运行轨迹表时，该方法才有效。格林尼治皇家天文台就是为这一目的于１６７５年创建的。
１７６７年皇家天文学家内维尔·马斯基林发表了《航海年鉴》，年鉴含有一年中每隔３小时的月球位置表。那时约翰·哈里森的航海钟已接近完成，并且它很快成为在海上确定经度的有效工具。该仪器有一个标准时间表，这样通过对太阳或恒星的观测来确定当地时间，然后利用当地时间与标准时间的差，就可给出海船所在地区的经度。
随着人们发现地球并非是一个标准的球体而是一个扁平的球体———它的两极比较平坦，投影法变得更加复杂。牛顿在《自然哲学的数学原理》中关于地球是扁平的论证，最终被实践所证实。如果地球的两极是平坦的话，同样１°的纬度，两极附近的长度比赤道附近的长度要长，同时由于地球的引力，纬度不同加速度也不同。人们组成了测量远征探险队来检测这些结果。１７３５年，巴黎科学院决定派出特使团到拉普兰和秘鲁去测量北极与赤道附近纬度１°的差别。克里斯蒂安·惠更斯关于单摆的经典研究指出，钟摆的频率与重力加速度的值有相关。这种差异早在１６７２年就已被注意到。为了使巴黎的单摆与在凯恩的单摆摆动得一样快，必须缩短在巴黎的单摆的臂长。不幸的是，由于观测的错误导致出了一个矛盾的结论。有些人甚至认为地球是一个瘦长的球体，也就是说在两极被拉长而不是被压扁了。到了１８３２年，美国的天文学家纳萨尼尔·鲍迪奇测量了全球从拉普兰到好望角的５２个地区。在他对拉普拉斯的《天体力学》的译本中，他对上述测量结果加以分析，并给出了地球的扁率是１／２９７，这一结果在近百年之后才得到国际上的承认。
对地球不是标准球体的认识，促使人们去寻找一种不仅能处理平面和圆球面而且也能方便地处理一般球面的三角学。在一个圆球面上，三角形内角和大于１８０°，如果是一般球面的话，三角形内角和的超出量将随三角形的位置不同而变化。勒让德于１７９９年在这一方面做出了十分出色的研究，他寻找到了一个三角形的边与三角形内角和的关系公式。使用这一计算公式，人们定义了新的投影法。用该公式我们可以计算出所需的扭曲度。兰伯特于１７７２年发表了一系列的投影法，其中之一是现在仍在使用的保形圆锥投影法。用这一投影法将地球投影到一个锥面上，该锥面与地球面在标准纬度上相接，把这个锥面展开后就是一张平面地图。
贸易工具得到了迅速的改进。从希腊人继承来的，由阿拉伯人完善的天体观测仪天空投影是一种模拟计算机。通过旋转一个刻着星座图和各种天体轨道的圆盘，我们可以计算日出及日落的时间。纬度不同，星体的投影也不同，所以这种星盘通常由若干个圆盘组成，每个圆盘对应于不同的纬度。这种星盘可以计算星体的地平纬度和方位，还可以计算时间和测量天文距离。阿拉伯人首先开始使用地平纬度和方位作为标准度量。地平纬度是天体与地平线的角度，方位是到子午线的角距。日晷也是常用的计时工具，它利用太阳的地平纬度或方位的变化来计时。多数刻度盘需要用指南针来定位，通过参照太阳在空中运动的速度的变化，刻度盘变得越来越精确。１７世纪，人们还制出了经调整纬度后可以运用于任意地区的通用日晷。简易的水手天体观测仪被象限仪所替代，由于有了光学仪器和更加精细的刻度，航海家、天文学家及测量员所使用的象限仪、六分仪以及相关的仪器的精度得到了极大的提高。
对土地、海洋和天空测量精度要求的提高加大了计算量，提高精确度意味着计算量的增加，因而对数的使用在１７世纪具有重大的现实意义。尽管三角函数表和对数表中总是存在着一些印刷上的错误，航海家使用这些表仍可以简化计算。计算尺的发明虽然没有提高精确度，但大大节省了计算时间。从１８世纪起计算尺得到了广泛应用。从那时起我们的宇宙观已经完全不同于托勒密的宇宙观：地球现在只是一个行星，一个绕着太阳运转的扁平球体。２０世纪后期，当人们开始利用人造地球卫星绘制地球轨道的改变着的地理结构时，我们终于可以从地球外面来俯视地球了。
解密现代艺术与数学的亲密关系
２０世纪是物理学、生物学和人类科学等各个领域科学发现和技术进步的大爆炸时期。在启蒙运动时期，人们相信已积累起来的知识给予我们以征服自然的无穷力量和挣脱现实世界束缚的能力。而艺术对这一时期的发展的反应却并不总是正面的。威廉·布莱克对牛顿的机械宇宙论的否定就是一个例证。２０世纪早期，相对论和量子力学使我们的宇宙观发生了根本的变化，同时宇宙又变得神秘莫测起来。然而，在两次世界大战中，科学和政治的发展相互抵触，的确有很多理由需要我们重新审视人类在宇宙中的位置。期望在将来，我们的智慧和其他知识能够均衡发展。
下面考察一下数学以及数学和物理的结合对大众文化和艺术的影响。艺术是对哲学思想的改变和艺术家们对变化技术环境反应的最直接表现形式。可以肯定，数学并不是对所有文化运动都产生着关键性的影响。但是，考察数学充当了唯一的且重要的角色的那些文化领域，是非常有意思的。将数学术语恰当地运用于艺术表现的事实说明：艺术家们开始使用数学的语言和思想，并将其贯穿于五彩缤纷的艺术生活之中。
许多新兴的艺术运动发生于２０世纪开始的前２０年，它接受了数学家们研究出的几何语言和几何思想。油画和雕刻都非常自然地表现了二维和三维空间中的艺术形象。但是，现有的几何学知识对展示人类和世界的全貌存在着一定的局限性。新几何学能对新兴的艺术形式产生怎样的影响呢？
意大利文艺复兴时期，透视学能够使我们在二维空间的表面上更真实地表现三维空间的物体。透视学拓宽了绘画的语言，艺术家们很快就学会了这一新方法。后来，他们为了达到视觉和审美的效果，又有意识地打破了这些规则。２０世纪的立体主义、超现实主义和未来主义等术语都来自新几何学的概念，如非欧几何学、多维空间特别是四维空间。从总体上看，２０世纪初新几何学对个别艺术家的影响要比对每次运动的影响大。２０世纪２０年代末，爱因斯坦的相对论中的四维时空变得越来越受到重视。但是在此之前，人们对空间的第四维已经做了大量的研究。在１９世纪中叶由罗巴切夫斯基和Ｊ鲍耶于１８３０年左右分别独立创立的非欧几何学，带来了一场几何学革命。１８５４年，黎曼发表了一篇启迪性的论文《关于几何学基础的假设》，该论文使多维空间的数学研究和探索宇宙空间奥秘的物理实验又上了一个台阶。
现在，欧氏几何学只是多种几何学中的一种。刻画空间真理的真实几何，以前是，将来也是数学家和物理学家的研究对象。但与此同时，艺术家们已开始涉足关于感知和表现的几何学。首先，如果我们将三维空间的思想扩展到第四维上去，我们马上就会遇到如何表达的问题。艾德温·艾伯特于１８４４年出版的《平地》（１８４４年）一书中，就有一个极佳的类比：从四维空间观察三维空间时，就好像我们三维空间的人观察一个二维空间“平地”的物体一样。克劳德·伯拉顿在很多书中都描绘了上述观点，包括《平面上的人：一个高维空间的寓言》（１９１２年）一书。这一观点的关键，是通过一个物体的切片或横截面使我们对整个物体有一个直观的认识。这样，当我们用油画来描绘一个物体时，无论这一物体是存在于三维还是四维空间，我们都需要这一物体在不同角度的切片或多重透视图。这正是立体派描绘物体的一种手法。人们认为透视法具有局限性，它所提供对物体的观测过于狭窄，所以透视法遭到了拒绝。哲学家康德把应对物体的感知和物体本身加以区别的观点，也推进了立体派的多重透视表现形式的发展。事实上，立体派对第四维给出了一些超越了纯数学和空间范围的陈述。有一些陈述体现了柏拉图的神秘的、不合理的哲学理念。简而言之，第四维使得艺术家们得以突破三维透视，自由地探索现实。这种自由不仅存在于立体主义者中，也存在于意大利的未来主义者中。意大利未来主义者于１９０９年发表的《智慧宣言》，由政治和艺术两部分组成，它推进了现代主义、工业主义和技术的进步与发展。波丘尼、塞维里尼和巴拉等艺术家表达出了第四维的活力。
亨利·庞加莱是一位最有影响力的法国数学家。他是一位受人尊敬的学者。他的著作涉及数学、政治、教育和伦理学等各个领域。１９０６年，他担任了法国科学院的院长。他的科普读物将物理和数学推向整个社会。他的知识相对性的哲学思想和对数学的创造性思维的关注，在２０世纪早期产生了巨大的影响。所谓的数学的创造性思维，包括了像在解决难题时的非逻辑的潜意识思维。莫里斯·普林斯特是一个不太知名的数学家，这也许是由于他的影响只限于立体派艺术家的圈子里。他还是保险统计师和业余油画爱好者，并且与艺术家麦钦格和格里斯一起研究探讨了非欧几何学。
